矩阵分析一子空间和特征分解

线性方程组Ax=b的行视图是超平面，列视图是列向量的线性组合。从这个视角，将矩阵与向量组联系起来了。

5.1 线性相关、线性无关

定义：给定向量组A：$a_1,a_2,...,a_m$，如果存在不全为零的数$k_1,k_2,,...,k_m$，使得$k_1a_1+k_2a_2+...+k_ma_m=0$，则称向量组A是线性相关的，否则称为线性无关的。

定理：向量组$A:{ai,i=1,...,m}$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ Ax=0有非零解 $\Leftrightarrow$ $R(A)<m$ ;

向量组$A:{ai,i=1,...,m}$ 线性无关 $\Leftrightarrow$ Ax=0有唯一解，即零解 $\Leftrightarrow$ $R(A)=m$ ;

向量组的秩等于其最大线性无关向量组中向量个数。

定理：矩阵的秩等于它的列向量组的秩。

定理：如果n维向量组a1,…,ar是一组两两正交的非零向量，那么a1,…,ar线性无关。

定理7：设$A \in R^{m\times n}$ 的秩$R(A)=r$ ，则n元齐次线性方程组$Ax=0$ 的解集S的秩$R(S)=n-r$ 。解集中任意n-r个线性无关解都可构成它的基础解系。

5.2 span，基，子空间

向量组$A:{a_i,i=1,...,N,a_i \in R^m}$ 线性无关，则可以构成一个子空间S

$S=span[a_1,...,a_N]=\{y \in R^m|y=\sum_{i=1}^Nk_ia_i\}$

向量组A称为子空间S的一组基。如果向量组A两两正交（$a_i^Ta_j=0$ ），则称为正交基，如果向量$a_i$ 为单位向量，则称为规范正交基。

子空间的基有很多，但是基的秩（即向量个数）是不变的，称为子空间的维度。

从子空间定义可知，子空间一定包含原点（全为0的向量）。

5.2.1 四个基本子空间

1. 列空间 column space

列空间也称为值域或span，用C(A)表示，其中$A \$