高等数学笔记：重积分的雅可比因子

最新推荐文章于 2023-09-22 22:20:24 发布

野原星月

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                    重积分的雅可比因子
二重积分
(1) 平移变换
∣J∣=1\displaystyle{|J|=1}∣J∣=1 ，平移变换偷偷换，仿佛换元不存在

(2) 极坐标变换
∣J∣=x2+y2=r\displaystyle{|J|=\sqrt{x^2+y^2}=r}∣J∣=x2+y2​=r .
(rcos⁡θ)2+(rsin⁡θ)2\displaystyle{\sqrt{(r\cos\theta)^2+(r\sin\theta)^2}}(rcosθ)2+(rsinθ)2​ .

三重积分
(1) 柱坐标变换
∣J∣=x2+y2+z2=r\displaystyle{|J|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=r}∣J∣=x2+y2+z2​=r .

(2) 球坐标变换
∣J∣=x2+y2⋅x2+y2+z2=r2sin⁡φ\displaystyle{|J|=\sqrt{x^2+y^2}\cdot\sqrt{x^2+y^2+z^2}=r^2\sin\varphi}∣J∣=x2+y2​⋅x2+y2+z2​=r2sinφ .
(rsin⁡φcos⁡θ)2+(rsin⁡φsin⁡θ)2⋅(rsin⁡φcos⁡θ)2+(rsin⁡φsin⁡θ)2+(rcos⁡φ)2\displaystyle{\sqrt{(r\sin\varphi\cos\theta)^2+(r\sin\varphi\sin\theta)^2}\cdot\sqrt{(r\sin\varphi\cos\theta)^2+(r\sin\varphi\sin\theta)^2+(r\cos\varphi)^2}}(rsinφcosθ)2+(rsinφsinθ)2​⋅(rsinφcosθ)2+(rsinφsinθ)2+(rcosφ)2​ .