模拟赛生成树_问题q:生成树给定n个点,第i个点有一个非负点权ai。这n个点连成了- -张无向完全-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Defener/article/details/109229770

该博客介绍了如何处理一个涉及位运算的最小生成树问题。通过将点权值按位异或操作构建无向完全图，并使用贪心策略将点分为两类，分别构建最小生成树。利用字典树（Trie）数据结构，博主展示了如何在O(nlog2^2max_a)的时间复杂度内找到解，其中n是节点数，max_a是最大连边权值。文章详细解释了算法实现过程，并提供了C++代码示例。

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题目描述

给定 $n$ 个点，第 $i$ 个点有一个非负点权 $a_i$ 。
这 $n$ 个点连成了一张无向完全图，其中第 $i$ 个点和第 $j$ 个点连的边长度为 $a_i$ 按位异或 $a_j$ 。现在要求出这张无向完全图的最小生成树。
$\leqslant n \leqslant 200000,0 \leqslant a_i \leqslant 1073741823$
时间限制2s，空间限制512MB。

题解

位运算问题常用贪心。将 $a$ 排序并分为高位为 $0$ 和高位为 $1$ 两类。那么整个图的最小生成树则为高位为 $0$ 的数构成的最小生成树并上高位为 $1$ 的最小生成树再加上再两类中个选一个数的最小边权。高位相同的答案可以递归，高位不同时将高位为 $0$ 的数加入01字典树中，再将高位为 $1$ 的数挨个在字典树中跑，从高位选择到低位，找出最小边权。
时间复杂度 $O(nlog_2^2max_a)$ ，空间复杂度 $O(nlog_2max_a)$ 。

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define R register int
#define L long long
#define I inline
int a[200001],ct=1;
struct TrieNode{
	int Ls,Rs;
}t[6000000];
I int GetNode(){
	ct++;
	return ct;
}
I void Insert(int x){
	int p=1;
	for(R i=29;i!=-1;i--){
		if((x>>i&1)==1){
			if(t[p].Rs==0){
				t[p].Rs=GetNode();
			}
			p=t[p].Rs;
		}else{
			if(t[p].Ls==0){
				t[p].Ls=GetNode();
			}
			p=t[p].Ls;
		}
	}
}
I int GetMin(int p,int x,int k){
	int res=0;
	for(R i=k;i!=-1;i--){
		if((x>>i&1)==1){
			if(t[p].Rs==0){
				res|=1<<i;
				p=t[p].Ls;
			}else{
				p=t[p].Rs;
			}
		}else{
			if(t[p].Ls==0){
				res|=1<<i;
				p=t[p].Rs;
			}else{
				p=t[p].Ls;
			}
		}
	}
	return res;
}
I void Solve(int p,int l,int r,int k,int pre,L&ans){
	if(k!=-1){
		int mid=lower_bound(a+l,a+r+1,pre|1<<k)-a;
		if(t[p].Ls!=0){
			Solve(t[p].Ls,l,mid-1,k-1,pre,ans);
		}
		if(t[p].Rs!=0){
			Solve(t[p].Rs,mid,r,k-1,pre|1<<k,ans);
		}
		if(t[p].Ls!=0&&t[p].Rs!=0){
			int cur=2e9;
			for(R i=mid;i<=r;i++){
				int tem=GetMin(t[p].Ls,a[i],k-1);
				if(tem<cur){
					cur=tem;
				}
			}
			ans+=cur|1<<k;
		}
	}
}
int main(){
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(R i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",a+i);
		Insert(a[i]);
	}
	sort(a+1,a+1+n);
	L ans=0;
	Solve(1,1,n,29,0,ans);
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}