线段树优化建图树上的最短路

Defener

于 2020-10-27 20:49:02 发布

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分类专栏：图论数据结构文章标签：数据结构

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Defener/article/details/109319930

本文探讨了一种处理树上最短路径问题的方法，利用线段树优化来处理链之间的连接。通过树剖，将重链用线段树表示，每条链对应O(log2^2n)节点，新增边的时间复杂度为O(log2^4n)。Dijkstra算法在优化后的时间复杂度为O(nlog2(m+n)+mlog2^2n)，空间复杂度为O(n+mlog2^2n)。

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题目描述
题目中树边为双向边，之后增加的边为单向边。
题目要求树上两条链中的点两两连边，显然不能通过。对于链的问题，考虑树剖。将剖出来的重链用线段树优化建图，条链对应 $O(log_2^2n)$ 个线段树节点，两两连边增加 $O(log_2^4n)$ 条边，最后跑Dijkstra时间复杂度为 $O(mlog_2^5n)$ 。
每次加边增加一个点，将第一条链对应的线段树节点连向这个点，再由这个点连向所有第二条链对应的线段树节点。这样做的点数为 $O (n + m)$ ，边数为 $O(n+mlog_2^2n)$ ，最后求最短路。
时间复杂度 $O(nlog_2m+mlog_2mlog_2^2n)$ ，空间复杂度 $O(n+mlog_2^2n)$ 。

#include<stdio.h>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define R register int
#define L long long
#define I inline
#define N 250001
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