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最新推荐文章于 2022-05-22 22:20:37 发布

Defener

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分类专栏：杂题文章标签：算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Defener/article/details/117202243

本文主要探讨了四个算法问题：求和变换的矩阵运算，逛街问题的时间复杂度分析，一棵树的结构变化及其贡献，以及代金券支付策略的最优化。对于求和变换，利用矩阵快速幂优化求解；逛街问题通过构建树形结构并使用平衡树或树状数组维护；在树的构造问题中，通过换根DP解决；代金券问题采用二分查找和线段树维护。所有问题均给出了解决方案的时间复杂度和空间复杂度分析。

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求和变换

给定一大小为 $\times n$ 的矩阵 $M$ ，每次变换将 $M_{i,j}$ 变为当前的 $∑k=0n−1Mi,k+Mk,j\sum_{k=0}^{n-1}M_{i,k}+M_{k,j}$ 。求原矩阵变换 $t$ 次的结果，每个位置的答案对 $P$ 取模。
$\leqslant n \leqslant 1000,0 \leqslant t \leqslant 10^9,2 \leqslant P \leqslant 10^9$
时间限制1s，空间限制512MB。

设 $\times n$ 的矩阵 $S$ 满足 $S_{i,j}=1$ ，则 $M S$ 即可得到将行求和后的矩阵。同理 $S M$ 即为将列求和后的矩阵。设 $F (M, t)$ 表示 $M$ 经过 $t$ 次变换后的结果，则有 $F (M, 0) = M, F (M, t) = S F (M, t - 1) + F (M, t - 1) S$ 。发现规律：
$F (M, 0) = M$
$F (M, 1) = S M + M S$
$F(M,2)=S^2M+2SMS+MS^2$
$F(M,3)=S^3M+3S^2MS+3SMS^2+MS^3$
$F(M,4)=S^4M+4S^3MS+6S^2MS^2+4SMS^3+MS^4$
归纳可得：
$\sum_{i=0}^t \binom{t}{i}S^iMS^{t-i}$
容易发现 $S^0=I,S^t=n^{t-1}S$ 。设 $B=S^{t_1}MS^{t_2}$ ，根据矩阵乘法的定义：
$Bi,l=∑j=0n−1∑k=0n−1nt1−1Si,jMj,knt2−1Sk,l=nt1+t2−2∑j=0n−1∑k=0n−1Mj,kB_{i,l}=\sum_{j=0}^{n-1} \sum_{k=0}^{n-1} n^{t_1-1} S_{i,j} M_{j,k} n^{t_2-1} S_{k,l}=n^{t1+t2-2} \sum_{j=0}^{n-1} \sum_{k=0}^{n-1} M_{j,k}$
设矩阵 $M^{'}$ 中的任意一位均为 $M$ 中所有数的和，得到：
$F(M,t)=StM+MSt+∑i=1t−1(ti)nt−2M′=nt−1(SM+MS)+nt−2M′∑i=1t−1(ti)F(M,t)=S^tM+MS^t+\sum_{i=1}^{t-1} \binom{t}{i}n^{t-2} M'=n^{t-1}(SM+MS)+n^{t-2} M' \sum_{i=1}^{t-1} \binom{t}{i}$
由于 $∑i=0t(ti)=2t\sum_{i=0}^t \binom{t}{i}=2^t$ ，因此：
$F(M,t)=n^{t-2}(nF(M,1)+(2^t-2)M')$