递推数列深造

线性递推数列

求数列最小线性递推式

设有数列 $a_0\cdots a_n$，$r_i$ 为数列 $a_0\cdots a_i$ 的最小线性递推式，$l_i$ 为 $r_i$ 的阶数。显然有 $l_{i-1}⩽l_i$。设 $d_i$ 为真实 $a_i$ 与用 $r_{i-1}$ 计算出的 $a_i$ 的差。若 $d_i=0$ 则 $r_i=r_{i-1}$，否则 $l_i>l_{i-1}$。设 $p$ 为上次递推式增长的位置，则令 $r_i$ 为 $r_{i-1}$ 在所有的 $j⩾i-p$ 下标上进去 $\frac{d_i}{d_p}{r}_{p-1,j-i+p}$ 即可。正确性可以被验证。
时间复杂度 $O(n^2)$，空间复杂度 $O(n)$
此为BerlekampMassey(BM)算法的执行过程。

BM算法应用

求向量列、矩阵列最小线性递推式

以长度为 $n$ 的行向量为例，在模 $P$ 意义下，对每一项乘以一随机列向量，再对数列求最小线性递推式。根据SchwartzZippel引理，正确的概率至少为 $\frac{P-n}{P}$。列向量同理。对于大小为 $n\times m$ 的矩阵，先乘以一长度为 $m$ 的随机列向量，转化成为向量列即可。

求矩阵最小多项式

对于方阵 $M$，其最小多项式即为矩阵列 $I,M,M^2\cdots$ 的最短线性递推式，直接求解即可。
时间复杂度 $O(n^3)$，空间复杂度 $O(n^2)$
当矩阵较为稀疏时，计算向量与矩阵乘法时可以更快。若矩阵中有 $e$ 个非$0$位置，则时间复杂度可降为 $O(n(n+e))$。

解稀疏线性方程组

已知一长度为 $n$ 的行向量 $b$，大小为 $n\times n$ 的满轶矩阵 $A$，求一行向量 $x$ 使得 $xA=b$，即 $x=b{A}^{-1}$。设 $b,bA,b{A}^2\cdots$ 的最短线性递推式为 $r_0\cdots r_m$，有 ${\sum }_{i=0}^m{A}^{i}b{r}_{m-i}=0$，移项得 $A^{-1}b=-\frac{1}{r_m}{\sum }_{i=0}^{m-1}{A}^{i}b{r}_{m-1-i}$。若矩阵中有 $e$ 个非零位置，则时间复杂度为 $O(n(n+e))$，空间复杂度为 $O(n^2)$

求稀疏矩阵行列式

已知一大小为 $n\times n$ 的满轶矩阵 $A$，求 $\det (A)$ 模 $P$ 的值。令对角矩阵 $B$ 和 $A$ 有相同的大小，对角线上每个数为随机值，则有至少 $1-\frac{2n^2-n}{P}$ 的概率满足矩阵 $AB$ 的最小多项式就是其特征多项式。对于任意的 $n\times n$ 的矩阵，其特征多项式的常数项为其行列式的值乘以 $(-1{)}^n$，求出 $\det (AB)$ 后，我们有 $\det (A)=\frac{\det (AB)}{\det (B)}$。若 $A$ 中有 $e$ 个非零位置，则时间复杂度为 $(n(n+e))$

整式递推数列

定义

若数列 $a$ 与多项式列 $B_0\cdots B_m$ 满足对于任意的 $i⩾m$ 都有 ${\sum }_{j=0}^m{a}_{i-j}{B}_j(i)=0$，则 $B$ 为数列 $a$ 的整式递推式。

求整式递推式

设现已知 $a_0\cdots a_n$，$B$ 的阶数为 $m$，$B_i$ 的最大可能次数为 $s$。设 $C_i(x)=B_i(x+m)$，则可以根据定义将 $C$ 中每一项的每个系数列方程组，求出 $C$。在解方程时对遇到第一个自由元可直接赋非$0$值。最后还原出 $B$。
时间复杂度 $O(n^{2}ms)$，空间复杂度 $O(nms)$
这里 $n$ 必须满足 $n⩾(s+2)(m+1)$，且 $n$ 越大正确的概率越大。