ICPC南京 C.拓扑 + 组合数Dp

题目

给出一棵有根树，问有多少个拓扑序满足 $p_i=i$ 。$n\le 5000$

样例

input1:
4
1 1 2
output1:
3 2 1 2
input2:
9
1 1 2 2 3 3 4 4 5
output2:
672 420 180 160 152 108 120 170 210

题解

考虑设 f[x][i] 表示还未在序列中插入 x 子树内除了 x 外的其他节点，满足 $p_x=i$ 的拓扑序个数。
那么对于某一个点 x ，答案就是 f[x][x]*C(n-x,sz[x]-1)*g[x] 。
其中 C(n-x,sz[x]-1) 表示 sz[x]-1 个元素只能放在位置 x 的后面。
g[x] 表示的是 x 的子树的拓扑序个数，这个可以一遍 dfs 轻松得到。

考虑 f[x][i] 到 f[y][j] 的转移：
发现除了 x 的子树外，其他所有 n-sz[x]+1 个点（包括 x）的拓扑序已经确定好了，现在要转移到 f[y][j] ，所以我们要先将 y 所在的子树剔除掉（n-sz[y]），然后再将 x 的其余旁支加进 x 的拓扑序后面（注意是位置 i，所以总共的位置是 n-sz[y]-i）。
那么转移系数就是
$$(sz[y_1],sz[y_2],...,sz[y_{k-1}],n$$