ST03Day8 多项式与生成函数

正题

      多项式的大部分知识，都可以在我的另一篇Blog学到，在这里只做总结性归纳。

       多项式

      第一个拓展的知识就是：

      相信讲的很清楚。

      大部分的式子都可以直接用牛顿迭代法来推得：

      不会泰勒展开就不要看了，到第4个点还是很显然的。

       第5个点可以这样推出：因为，所以

       所以后面的项在mod x^{2n}意义下就为0，然后前面的项移一下项就可以推得f是这个东西。

       比如说求逆就可以这样推得：

      这里f的逆可以直接取g_0是因为f*g_0-1的前n项都为0，此时，乘上一个第n位后面的数显然没有贡献，所以只用取f的逆的前n位，也就是g_0。时间复杂度可以根据主定理算得nlogn

       开方也可以这样算，相当于构造多项式函数h(g)=g^2-f，然后牛顿迭代找零点就可以。

       当然也可以直接ln，exp，转化成 1/2次方。

       ln,exp的求法也是很显然的。

       

        剩下的取模，多点插值，多点求值可以参见上面的Blog。

        生成函数

      生成函数之前也写了一篇Blog，现在增加一些概念：

      我们考虑对于一个EGF来说，它的exp相当于啥？ 相当于每一个EGF都代表了一种有标号的方案，每次合并两个f我们就将这些方案之间保序重标号，发现要/i!，所以这还相当于去掉重复的方案，理解不了可以考虑保序重标号之后相当于给一个序列染色，然后将每种颜色对应点数的方案数乘起来，除掉i!，相当于这些集合之间去标号。具体应用可以考虑n个节点的无向连通图。