学习笔记第四十节：生成函数

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本文深入探讨了生成函数的定义与应用，包括普通生成函数与指数生成函数的区别，以及如何通过生成函数解决复杂的组合数卷积问题。文章详细介绍了多项式求逆、泰勒展开、对数求导等技巧在生成函数中的应用，展示了如何将问题简化并求解。

正题

以前讲的东西并不是没有道理，但是如果要更严格地讨论生成函数，我们就要学习他的定义。

普通生成函数： $F(x)=\sum_{i=0}^{\infty} f_ix^i$

指数生成函数： $G(x)=\sum_{i=0}^{\infty} g_i\frac{x^i}{i!}$

指数生成函数就是普通生成函数多了一个 $\frac{1}{i!}$ 。

这个暂时先记下来，后面再讲有什么用。

先讲讲组合数卷积

如果题目给出两个多项式，要你求他们的组合数卷积，什么意思呢？

也就是给出两个多项式 $A(x),B(x)$ ，要你求一个 $C(x)|[x^k]C(x)=\sum_{i=0}^k C_k^i a_ib_{k-i}$ 。

这个怎么做？把组合数拆一拆就好了。

也就是将 $a_i\to \frac{a_i}{i!},b_i\to \frac{b_i}{i!}$ 。

将两个多项式卷起来，然后再将 $c_i\to c_ii!$ 就好了。

当题目给出一系列多项式系数的时候，要你求的可能不是简单的卷积操作，或者简单的组合数卷积操作。

而是要你求 $[x^n]G(x)=\sum_{i=0}^{\infty} A(x)^i$ ，保证 $[x^0]A(x)=0$ ，怎么办！

暴力的话，我们可以直接将暴力卷n次，把第n项加起来就可以了。

但是考虑一系列优美的泰勒展开式：

$e^x=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{x^i}{i!}$
$\frac{1}{1-x}=\sum_{i=0}^{\infty} x^i$
$\ln(1+x)=\sum_{i=0}^{\infty} (-1)^i\frac{x^{i+1}}{(i+1)!}$
$sin(x)=\sum_{i=0}^{\infty} (-1)^i\frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}$
$cos(x)=\sum_{i=0}^{\infty} (-1)^i\frac{x^{2i}}{(2i)!}$
$\frac{e^x+e^{-x}}{2},\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ 可以自己试着推导一下。

发现 $G(x)=\sum_{i=0}^{\infty} A(x)^i=\frac{1}{1-A(x)}$ 。

可以多项式求逆解决。

再比如说，现在有 $F(x)=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{B(x)^i}{i!}=e^{B(x)}$ 。

就可以多项式exp解决，假设现在知道F，要求B，也可以多项式ln解决。

所以我们使用生成函数不是为了简单的卷积，而是因为生成函数在 $i\to\infty$ 的时候收敛。

那么我们就可以使用泰勒展开式把它转化为一些优美的形式。从而使问题得到解决。

所以指数生成函数与普通生成函数的区别就在于，指数生成函数是处理组合数卷积的一种方法，仅此而已。

背熟式子，练好多项式全家桶，这部分就完了。

对于一串数字，我们可以把它写成一条函数，以便于化简和计算。

比如说 $(2,3,5)$ ，那么这个数列的生成函数就是 $F(x)=2+3x+5x^2$ ，而其中的x是没有意义的，真正有意义的只有系数，所以我们在化简式子时，x可以取任意实数。

用生成函数以及一些关于对数、求导之类的数学方法，我们可以把问题简化。

比如说，我们要求 $(\sum_{i=1}^n 1,\sum_{i=1}^na_i,\sum_{i=1}^na_i^2,...,\sum_{i=1}^na_i^t)$ 。

如果暴力枚举，我们就需要 $O(n^2)$ 的时间，但是，我们看看生成函数怎么把这个式子简化。

首先构造生成函数 $F(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^ta_i^jx^j$ 。

发现第i项的系数恰好是数列中的第i个数。

所以，我们继续化简这个式子，只要求出每一项的系数就可以了。

因为x取任何值都可以，那我们就让 $x\to 0 ,x\not =0$ 。

所以，利用等比数列求和可以得到：

$F(x)=\sum_{i=1}^n\frac{1}{1-a_ix} \\=\sum_{i=1}^n1-\frac{-a_ix}{1-a_ix} \\=n-x\sum_{i=1}^n\frac{-a_ix}{1-a_ix}$

接着，我们发现 $\frac{-a_ix}{1-a_ix}=\ln(1-a_ix)$ ， $\ln(1-a_ix)=\ln '(1-a_ix)*(1-a_ix)'=\frac{-a_ix}{1-a_ix}$ 。

换一下，发现：

$F(x)=n-x\sum_{i=1}^n(\ln(1-a_ix))' \\=n-x(\ln(\prod_{i=1}^n(1-a_ix)))' \\=n-x(\frac{1}{\prod_{i=1}^n(1-a_ix)}*(\prod_{i=1}^n(1-a_ix))')$

所以，我们只需要分治FFT求出 $\prod_{i=1}^n (1-a_ix)$ ，然后再对这个东西求一个逆，再求一个导，最后卷积之后，向右偏移一位，取负，再加上n即可。具体怎么分治FFT，你只需要，不断地用NTT/FFT来合并最底层的两个多项式就可以了，这样的时间复杂度是 $O(n(\log_2n)^2)$ 的。