学习笔记第五十二节：特征方程与二阶递推式求循环节

最新推荐文章于 2022-02-26 11:29:21 发布
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本文探讨了二阶齐次递推式的特征方程及其解的表达方式，特别是当特征方程存在复数根时的处理方法。进一步讨论了递推式中循环节的求解过程，包括对p进行质因数分解，利用二次剩余理论求解循环节的最小公倍数。

正题

      给定一个二阶齐次递推式：t_n=a*t_{n-1}+b*t_{n-2}。

      其特征方程即为：x^2-ax-b=0

      设两根为x_1,x_2。

      当delta<0时，可用复数将其表示出来。

      那么t_n=c_1*x_1^n+c_2*x_2^n。

      若x_1=x_2，那么t_n=(c_1n+c_2)x_1^n

      若有三个重根，那么就类推：t_n=(c_1n^2+c_2n+c_3)x^n

      这里所说的c都指的是“未知数”，对于怎么求，直接将给出的t的前几项带入求解即可。

      如果是高阶递推式，那么就有多个根，对于一个k重根，根据WJH的说法这一项的系数为(\sum_{i=0}^{k-1} c_{i+1}n^k)x^n。

      然而他并不知道为什么

      还有两个系数未知，可以通过给定的t_0,t_1将其解出来。

      那么就可以快速求t_n，而且比矩阵快速幂快的不是一点点。

      循环节怎么求？

      大致说下递推式循环节的解决方案：求t_n\%p的循环节

  1. 对p进行质因数分解，p=\prod p_i^{a_1}
  2. 分别求 p_i^{a_i}的循环节，然后取最小公倍数
  3. 至于怎么求对 p_x^{a_x} 的循环节，这里用到了二次剩余
  4. t_n \mod p_x^{a_x} 的循环节 = G(p_x) * p_x^{a_x-1} , G(p_x) 就是 t_n\mod p_x的最小循环节
  5. 对于递推式，我们可以得到特征根方程 x^2=a*x+b ,delta=a*a+4*b
  6. 对于G(p_x),如果delta是模p_x的二次剩余，G(p_x)是p_x-1的因子，否则G(px)是2(p_x+1)的因子
二阶线性递推（生成函数）
帅气廖鹏飞
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就是长得像这样的： an+2n+2_{n+2}=pan+1n+1_{n+1}+qann_n 大名鼎鼎的 斐波那契数列 an+2n+2_{n+2}=an+1n+1_{n+1}+ann_n 就符合这个 同样：令f(x)=a00_0x00^0+a11_1x11^1+……+ann_nxnn^n ——① 而： -pxf(x)=-pa00_0x11^1-pa22_2x22^2-……...
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特征方程求解二阶递推式学习笔记
a1035719430的博客
10-10 3934
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特征方程求数列的通项公式（二阶线性递推式) 已知数列{an}\{a_n\}{an​}满足fn=afn−1+bfn−2,a,b∈N,b≠0,n>2,f1=c1,f2=c2,(c1,c2f_n=af_{n-1}+bf_{n-2},a,b\in N,b\ne 0,n>2,f_1=c_1,f_2=c_2,(c_1,c_2fn​=afn−1​+bfn−2​,a,b∈N,b​=0,n>2,f1​=c1​,f2​=c2​,(c1​,c2​为常数))) 定义：x2=ax+bx^2=ax+bx2=ax+
[Note] 二阶常系数齐次线性递推（广义斐波那契数列）的循环节
最后一次修改
04-09 1046
我也不知道它到底是不是这个名字 反正口胡就完事了（过段时间肯定会补的（咕咕咕 f(n)=af(n−1)+bf(n−2)(modm)f(n)=af(n-1)+bf(n-2)\pmod{m}f(n)=af(n−1)+bf(n−2)(modm) 唯一分解 m=∏piaim=\prod{p_i}^{a_i}m=∏pi​ai​ 循环节 G(m)=lcm{G(piai)}G(m)=lcm\{G({p_i}^{...
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