有一种递推，51nod 1361，巧妙的公式推导与特征方程

原创于 2019-09-27 07:57:15 发布 · 342 阅读

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本文探讨了一个复杂的数学构造题，通过巧妙的构造和矩阵快速幂优化，解决了递推式中的难题。详细解析了如何从特征方程出发，利用韦达定理和循环节理论，最终高效求解特定项的值。

正题

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这题太难了。

能想出怎么构造都难

首先构造 $b_i=6a_i+5$ ，根据 $a_{n+1} = 6 * a_n^2 + 10 * a_n + 3$ ，可以得到 $b_{n+1}=36*a_n^2+60a_n+23$ ，从而可以得到 $b_{i+1}=b_i^2-2$

多出来一个2的常数很丑陋，尝试利用 $(x+\frac{1}{x})^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2$ 来把它消除。

设 $b_i=c_i+\frac{1}{c_i}$ ，可以得到 $c_{i+1}+\frac{1}{c_{i+1}}=(c_i+\frac{1}{c_i})^2-2=c_i^2+\frac{1}{c_i^2}$ ，那么有两组解： $c_{i+1}=c_i^2\|\frac{1}{c_i^2}$ 。

不妨令其等于前者，可以得到 $c_n=c_1^{2^{n-1}}$ ， $c_1+\frac{1}{c_1}=11\to c_1=\frac{11\pm \sqrt{117}}{2}$ 。

不妨令 $c_1=\frac{11+\sqrt{117}}{2}$ ，设 $t_n=c_1^n+\frac{1}{c_1^n}$ ，可以得到 $b_n=t_{2^{n-1}}$ ，那么我们如果能快速求出t那么就可以求出答案。

发现 $c_1,\frac{1}{c1}$ 就是 t 的递推式中特征方程的两个根，根据韦达定理还原出原方程为 $x^2-11x+1=0$ 。

即可以得到 $t_{n+1}=11t_n-t_{n-1}$ ，其中 $t_0=2,t_1=11$ ，用矩阵快速幂优化即可。

当然也可以用 $t_n=t_n\to11t_n=(c_1+\frac{1}{c_1})(c_1^n+\frac{1}{c_1^n})=t_{n+1}+t_{n-1}$

发现要求第 $2^{n-1}$ 项，但是没办法高精度，所以一定要找到一个循环节。

根据论文，一个二阶递推式求循环节，可以通过判断二次剩余的形式，来求得循环节。

具体可以先做一做斐波那契的循环节这一题，可以记住一些定理，在这里， $t_n$ 的循环节一定是 $p^2-1$ 的约数，直接处理即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int T;
long long n,mod;
struct Matrix{
	long long v[2][2];
	friend Matrix operator *(const Matrix A,const Matrix B){
		Matrix C;
		memset(C.v,0,sizeof(C.v));
		for(int i=0;i<2;i++)
			for(int j=0;j<2;j++)
				for(int k=0;k<2;k++)
					(C.v[i][j]+=A.v[i][k]*B.v[k][j]%mod)%=mod;
		return C;
	}
}d,p;
__int128 ksm(__int128 x,__int128 t,__int128 mod){
	__int128 tot=1;
	while(t){
		if(t&1) (tot*=x)%=mod;
		(x*=x)%=mod;
		t/=2;
	}
	return tot;
}

int main(){
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%lld %lld",&n,&mod);
		if(mod==3 || mod==2 || mod==6) {printf("1\n");continue;}
		d.v[1][0]=d.v[0][1]=0;d.v[0][0]=d.v[1][1]=1;
		p.v[0][0]=11,p.v[0][1]=1,p.v[1][0]=mod-1,p.v[1][1]=0;
		long long t=ksm(2,n-1,mod*mod-1);t--;
		while(t){
			if(t&1) d=d*p;
			p=p*p;
			t/=2;
		}
		long long ans=(11*d.v[0][0]+2*d.v[1][0])%mod;
		(ans=ans+mod-5)%=mod;
		ans=ans*ksm(6,mod-2,mod)%mod;
		printf("%lld\n",ans);
	}	
}