矩阵求导术（上）

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矩阵求导的技术，在统计学、控制论、机器学习等领域有广泛的应用。鉴于我看过的一些资料或言之不详、或繁乱无绪，本文来做个科普，分作两篇，上篇讲标量对矩阵的求导术，下篇讲矩阵对矩阵的求导术。本文使用小写字母x表示标量，粗体小写字母 表示向量，大写字母X表示矩阵。

首先来琢磨一下定义，标量f对矩阵X的导数，定义为，即f对X逐元素求导排成与X尺寸相同的矩阵。然而，这个定义在计算中并不好用，实用上的原因是在对较复杂的函数难以逐元素求导；哲理上的原因是逐元素求导破坏了整体性。试想，为何要将f看做矩阵X而不是各元素的函数呢？答案是用矩阵运算更整洁。所以在求导时不宜拆开矩阵，而是要找一个从整体出发的算法。

为此，我们来回顾，一元微积分中的导数（标量对标量的导数）与微分有联系：；多元微积分中的梯度（标量对向量的导数）也与微分有联系： ，这里第一个等号是全微分公式，第二个等号表达了梯度与微分的联系；受此启发，我们将矩阵导数与微分建立联系： ，这里tr代表迹(trace)是方阵对角线元素之和，满足性质：对尺寸相同的矩阵A,B，，即是矩阵A,B的内积，因此上式与原定义相容。

然后来建立运算法则。回想遇到较复杂的一元函数如，我们是如何求导的呢？通常不是从定义开始求极限，而是先建立了初等函数求导和四则运算、复合等法则，再来运用这些法则。故而，我们来创立常用的矩阵微分的运算法则：

1. 加减法：；矩阵乘法： ；转置：；迹：。

2. 逆：。此式可在两侧求微分来证明。

3. 行列式： ，其中表示X的伴随矩阵，在X可逆时又可以写作。此式可用Laplace展开来证明，详见张贤达《矩阵分析与应用》第279页。

4. 逐元素乘法：，表示尺寸相同的矩阵X,Y逐元素相乘。

5. 逐元素函数： ，是逐元素运算的标量函数。
   

我们试图利用矩阵导数与微分的联系 ，在求出左侧的微分df后，该如何写成右侧的形式并得到导数呢？这需要一些迹技巧(trace trick)：

1. 标量套上迹：

2. 转置：。

3. 线性：。

4. 矩阵乘法交换：。两侧都等于。

5. 矩阵乘法/逐元素乘法交换：。两侧都等于。
   

观察一下可以断言，若标量函数f是矩阵X经加减乘法、行列式、逆、逐元素函数等运算构成，则使用相应的运算法则对f求微分，再使用迹技巧给df套上迹并将其它项交换至dX左侧，即能得到导数。

在建立法则的最后，来谈一谈复合：假设已求得，而Y是X的函数，如何求呢？在微积分中有标量求导的链式法则，但这里我们不能随意沿用标量的链式法则，因为矩阵对矩阵的导数截至目前仍是未定义的。于是我们继续追本溯源，链式法则是从何而来？源头仍然是微分。我们直接从微分入手建立复合法则：先写出，再将dY用dX表示出来代入，并使用迹技巧将其他项交换至dX左侧，即可得到。

接下来演示一些算例。特别提醒要依据已经建立的运算法则来计算，不能随意套用微积分中标量导数的结论，比如认为AX对X的导数为A，这是没有根据、意义不明的。

例1：，求。

解：先使用矩阵乘法法则求微分： ，再套上迹并做交换：，对照导数与微分的联系，得到。

注意：这里不能用，导数与乘常数矩阵的交换是不合法则的运算（而微分是合法的）。有些资料在计算矩阵导数时，会略过求微分这一步，这是逻辑上解释不通的。

例2【线性回归】：。

解：严格来说这是标量对向量的导数，不过可以把向量看做矩阵的特例。将向量范数写成，求微分，使用矩阵乘法、转置等法则：。对照导数与微分的联系，得到。

例3【多元logistic回归】：，求。其中是除一个元素为1外其它元素为0的向量；，其中表示逐元素求指数，代表全1向量。

解1：首先将softmax函数代入并写成，这里要注意逐元素log满足等式，以及满足。求微分，使用矩阵乘法、逐元素函数等法则：。再套上迹并做交换，注意可化简，这是根据等式，故。对照导数与微分的联系，得到。

解2：定义，则 ，先如上求出 ，再利用复合法则：，得到。

例4【方差的最大似然估计】：样本，其中是对称正定矩阵，求方差的最大似然估计。写成数学式是：，求的零点。

解：首先求微分，使用矩阵乘法、行列式、逆等运算法则，第一项是，第二项是。再给第二项套上迹做交换：，其中定义为样本方差。对照导数与微分的联系，有，其零点即的最大似然估计为。

最后一例留给经典的神经网络。神经网络的求导术是学术史上的重要成果，还有个专门的名字叫做BP算法，我相信如今很多人在初次推导BP算法时也会颇费一番脑筋，事实上使用矩阵求导术来推导并不复杂。为简化起见，我们推导二层神经网络的BP算法。

例5【二层神经网络】：，求。其中是除一个元素为1外其它元素为0的向量，同例3，是逐元素sigmoid函数。

解：定义，，，则。在例3中已求出 。使用复合法则，注意此处, 都是变量：，使用矩阵乘法交换的迹技巧从第一项得到，从第二项得到。接下来求，继续使用复合法则，并利用矩阵乘法和逐元素乘法交换的迹技巧：，得到。为求，再用一次复合法则：，得到。