【888题竞赛篇】第十二题，2024ICPC网络赛第二场-游戏(Game)

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原题

2024ICPC网络赛第二场真题-游戏

B站动画详解

问题分析

Alice 和 Bob 正在进行一场游戏，游戏的规则如下：

1. 初始筹码：

   • Alice 拥有 $n$ 个筹码。
   • Bob 拥有 $m$ 个筹码。

2. 每一轮的结果：

   • Alice 赢：
     • 概率：$p_0=\frac{a_0}{a_0+a_1}$
     • 操作：
       • 如果 Alice 的筹码 $n$ 大于或等于 Bob 的筹码 $m$，Alice 赢得整个游戏。
       • 否则，Bob 失去 Alice 当前的筹码数，即 $m=m-n$。
   • Bob 赢：
     • 概率：$p_1=\frac{a_1}{a_0+a_1}$
     • 操作：
       • 如果 Bob 的筹码 $m$ 大于或等于 Alice 的筹码 $n$，Bob 赢得整个游戏。
       • 否则，Alice 失去 Bob 当前的筹码数，即 $n=n-m$。
   • 平局：
     • 概率：$1-p_0-p_1$（根据题目提示，这部分可以忽略，因为题目中提到平局无效，我们可以将其视为游戏状态不变）。

3. 目标：

   • 计算 Alice 最终赢得整个游戏的概率，结果需对 $998244353$ 取模。

思路分析

核心思路

问题的关键在于模拟 Alice 和 Bob 之间的筹码变动过程，并计算 Alice 最终赢得整个游戏的概率。由于每一轮的结果依赖于当前的筹码状态，我们可以使用递归或动态规划的方法来解决。

递归关系

设 $f(n,m)$ 表示在 Alice 拥有 $n$ 个筹码，Bob 拥有 $m$ 个筹码的状态下，Alice 赢得整个游戏的概率。那么：

$$f(n,m)=p_0\cdot f(n,m-n)+p_1\cdot f(n-m,m)$$

其中：

• 如果 Alice 赢得一轮（概率 $p_0$），则 Bob 失去 $n$ 个筹码，新的状态为 $(n,m-n)$。
• 如果 Bob 赢得一轮（概率 $p_1$），则 Alice 失去 $m$ 个筹码，新的状态为 ( n − m , m )