【888题竞赛篇】第五题，2023ICPC澳门-传送(Teleportation)

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原题

2023ICPC澳门真题传送

B站动画详解

问题分析

题目要求从房间 $0$ 到达房间 $x$ 的最小能量消耗。可以进行两种操作：传送到房间 $(i+a_i)\%n$ 或者增加当前房间的数值 $a_i$。每次操作都消耗一点能量，问题的本质是一个最短路径问题。

这个问题可以通过图论中的单源最短路径算法来解决。我们将每个房间视为图中的节点，操作视为从一个节点到另一个节点的边，求解从节点 $0$ 到节点 $x$ 的最短路径。

思路分析

图的构建

1. 传送操作：
   如果在房间 $i$ 进行传送操作，可以跳到房间 $(i+a_i)\%n$。因此，这个操作在图中表示为一条从节点 $i$ 到节点 $(i+a_i)\%n$ 的有向边，权值为 $1$。

2. 数值增加操作：
   如果选择增加房间的数值 $a_i\leftarrow a_i+1$，则可以使得下次传送跳到下一个房间，因此在图中可以加入一条从房间 $i$ 到房间 $i+1$ 的边，权值也为 $1$。

3. 特殊处理房间 $0$：
   为了处理房间 $0$ 的特殊情况（即只有在第二次及以后回到房间 $0$ 时，才会从 $0$ 引出一条边到 $1$），我们引入一个额外的节点 $n$，表示从 $0$ 多次到达的状态。

最短路径算法

使用 Dijkstra 算法来计算从节点 $0$ 到节点 $x$ 的最短路径。Dijkstra 算法适用于具有非负权值的图，在该题中，每条边的权值为 $1$，正好符合该算法的要求。

具体步骤

1. 初始化图，将每个节点与其对应的边构建好。
2. 运行 Dijkstra 算法，计算从节点 $0$ 出发到所有节点的最短路径。
3. 输出节点 $x$ 的最短距离，即为答案。

算法实现

Dijkstra 算法

Dijkstra 算法是一种贪心算法，用于解决单源最短路径问题。它通过优先队列（最小堆）来确保每次扩展的节点是当前距离最短的节点，从而保证计算出的路径是最优的。在本题中，我们将图中的每条边的权值设为 $1$，因此算法能够高效地计算最短路径。

图的构建

对于每个房间 $i$，我们有两种操作：

1. 传送到房间 ( i + a i ) % n (i + a_i) \% n (i+a