【888题秋招篇】剑指大厂offer第十三题，带你用数学思维杀米哈游校招真题-房屋，斩获大厂年薪60wOffer

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原创最新推荐文章于 2026-11-10 09:06:32 发布 1.3k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

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- 256题算法特训课，帮你斩获大厂60W年薪offer
原题
- 米哈游校招真题房屋
- B站动画详解
问题分析
思路分析
算法实现
代码详解
- 标准代码程序
复杂度分析
- 时间复杂度
- 空间复杂度
总结

原题

问题分析

题目要求我们找到满足相邻房屋高度之和等于给定数组 $b$ 的所有可能高度组合。为了实现这个目标，首先我们需要分析房屋高度的变化规律。假设第一个房屋的高度为 $a_1$ ，那么可以通过 $b_1 = a_1 + a_2$ 得到第二个房屋的高度 $a_2$ 。接着通过 $b_2 = a_2 + a_3$ 计算第三个房屋的高度，依次类推。需要注意的是，在这过程中，高度之间存在依赖关系，计算 $a_{i+1}$ 时依赖于之前的高度 $a_i$ 。为了确保高度符合正整数要求，且解的数量为最大化，我们要分析在什么情况下有解。该题目实际上转化为在限定范围内寻找符合条件的整数解，因此我们需要对高度进行上下界约束。

思路分析

使用数学思维来解决这个问题，我们可以通过一次遍历计算出每一个房屋可能的高度区间。假设 $s$ 表示当前累积的高度总和，根据奇偶性，我们分别对区间进行调整。对于奇数位置的高度，我们累加 $b_i$ ，并更新当前可能的最大高度；对于偶数位置，我们累减 $b_i$ ，并更新最小高度。最终通过分析得到的最小和最大值的差异，我们可以计算出符合条件的解的数量。具体来说，结果为 $r - l - 1$ ，其中 $r$ 和 $l$ 分别是最大和最小的累积值。需要注意的是，当结果为负数时，解的数量为零。

算法实现

下面的代码实现了上述算法逻辑。首先通过输入读取房屋数量 $n$ 和数组 $b$ 。然后通过一次循环遍历数组 $b$ ，根据当前索引的奇偶性对累积和 $s$ 进行调整，并更新上下界 $r$ 和 $l$ 。在遍历完成后，计算结果为 $ma x (0, r - l - 1)$ ，确保解的数量为非负值。代码使用了 long long 类型来处理可能的大数运算，确保在大输入规模下仍然能够正确计算。

代码详解

标准代码程序

C++代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
    int n = 0;
    cin >> n;
    ll r = LLONG_MAX, l = 0;
    ll s = 0;
    for(int i = 1; i < n; ++i) {
        int b = 0;
        cin >> b;
        if(i % 2 == 1) {
            s += b;
            r = min(r, s);
        }
        else {
            s -= b;
            l = max(l, s);
        }
    }
    ll ans = max(0ll, r - l - 1);
    cout << ans;
    return 0;
}

Java代码

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        long r = Long.MAX_VALUE, l = 0;
        long s = 0;
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            int b = sc.nextInt();
            if (i % 2 == 1) {
                s += b;
                r = Math.min(r, s);
            } else {
                s -= b;
                l = Math.max(l, s);
            }
        }
        long ans = Math.max(0, r - l - 1);
        System.out.println(ans);
    }
}

Python代码

def main():
    n = int(input())
    r, l = float('inf'), 0
    s = 0
    for i in range(1, n):
        b = int(input())
        if i % 2 == 1:
            s += b
            r = min(r, s)
        else:
            s -= b
            l = max(l, s)
    ans = max(0, r - l - 1)
    print(ans)

if __name__ == "__main__":
    main()

Javascript代码

function main() {
    const readline = require('readline');
    const rl = readline.createInterface({
        input: process.stdin,
        output: process.stdout
    });

    rl.question('', (n) => {
        let r = Number.MAX_SAFE_INTEGER, l = 0;
        let s = 0;
        const bArr = [];

        rl.on('line', (line) => {
            bArr.push(...line.split(' ').map(Number));
            for (let i = 1; i < n; i++) {
                let b = bArr[i - 1];
                if (i % 2 === 1) {
                    s += b;
                    r = Math.min(r, s);
                } else {
                    s -= b;
                    l = Math.max(l, s);
                }
            }
            const ans = Math.max(0, r - l - 1);
            console.log(ans);
            rl.close();
        });
    });
}

main();

复杂度分析

时间复杂度

在这个问题中，算法主要依赖于对数组 $b$ 的一次线性遍历。考虑到 $n$ 表示房屋数量，而输入的数组 $b$ 有 $n - 1$ 个元素，因此遍历的时间复杂度为 $O (n)$ 。在每次遍历中，我们进行常数次的加法、减法、取最小值和取最大值操作，这些操作的时间复杂度都是 $O (1)$ 。因此，整体的时间复杂度为 $O (n)$ 。

空间复杂度

从空间复杂度的角度来看，算法只使用了几个辅助变量来存储当前的累积和 $s$ 、上下界 $r$ 和 $l$ ，以及输入的整数 $b$ 。这些变量的空间占用是常数级别的，因此空间复杂度为 $O (1)$ 。即使输入规模达到最大值（ $\leq 10^5$ ），算法也只需要额外的常量空间，因此在空间利用上是非常高效的。

总结

这道题目通过对数学思维的巧妙应用，成功将问题转化为区间上下界的求解问题。通过一次线性遍历，我们能够有效地计算出所有可能的房屋高度组合数量。关键在于根据累积和的奇偶性对上下界进行动态调整，最终通过结果公式 $r - l - 1$ 计算出满足条件的解的数量。由于时间复杂度为 $O (n)$ ，空间复杂度为 $O (1)$ ，该算法能够在大规模数据下高效运行，非常适合处理上限为 $10^5$ 的问题规模。这种通过分析区间并推导数学关系的思路，在处理类似问题时具有广泛的应用潜力。