【888题竞赛篇】第四题，2023ICPC合肥-送外卖(Takeout Delivering)

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已于 2024-08-19 19:40:53 修改 · 1.7k 阅读

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#java #c++ #算法 #数据结构 #图论 #icpc #算法竞赛

于 2024-08-19 18:09:40 首次发布

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更多精彩内容
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原题
- 2023ICPC合肥-送外卖
- B站动画详解
问题分析
思路分析
算法实现
代码详解
- 标准代码程序
复杂度分析
- 时间复杂度
- 空间复杂度
总结

原题

问题分析

题目要求在无向图中找到一条从节点 $1$ 到节点 $n$ 的路径，使得这条路径上的最大边权与次大边权之和最小。对于这个问题，显然不能简单地只看最短路径的计算，而是需要考虑路径中最大的边和次大边的组合情况。我们可以通过枚举每一条边作为路径上的最大边，并且预处理从起点（节点 $1$ ）和终点（节点 $n$ ）到每个节点的路径信息，进而得到最优解。这样可以将问题转化为“在固定最大边的前提下，寻找最优次大边”的问题。

思路分析

解决该问题可以采用基于 Dijkstra 算法的策略。具体步骤如下：

图的表示：将无向图表示为邻接表。每条边存储起点、终点和边权。
最优路径计算：为了预处理从起点和终点到图中各个节点的最大边权最小值，我们使用两次 Dijkstra 算法，分别从节点 $1$ 和节点 $n$ 出发，计算到所有节点的最大边权最小值。这一步将帮助我们在后续枚举边作为最大边时，快速获得与之对应的次大边。
枚举最大边：对每一条边，假设它是从节点 $1$ 到节点 $n$ 的路径上的最大边，那么此时的次大边应当是从起点到这条边的一个端点和从终点到这条边的另一个端点的最大边权的较小值。具体地，对于一条边 $(x, y, z)$ ，设它是路径中的最大边，则次大边可以是从节点 $1$ 到 $x$ 或 $y$ 的最大边权，以及从节点 $n$ 到 $x$ 或 $y$ 的最大边权的最小值。
更新最优解：对于每一条边，计算其最大边与次大边的和，并更新当前最优解。
输出结果：输出最优解，即路径中最大边与次大边的最小和。

通过这种方法，我们能够在较高效率下解决该问题。

算法实现

代码首先定义了图的结构，并通过邻接表存储每个节点及其相邻节点和边权。dij 函数用于执行 Dijkstra 算法，在从起点或终点出发时，记录到各个节点的最大边权。主函数部分首先进行数据输入，并构建图。接着通过两次 Dijkstra 算法计算节点 $1$ 和节点 $n$ 到其他节点的最大边权。然后遍历每条边，假设其为路径上的最大边，计算对应的次大边，并更新最优解。

代码详解

标准代码程序

C++代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
struct node
{
   
   
	int x,y,z;
}e[N];
vector<pair<int,int> > G[N];
int d1[N],dn[N],n,m,vis[N],ans=INT_MAX;
void dij(int st,int *dis)
{
   
   
	for(int i=1;i<=n;i++) vis[i]=0,dis[i]=INT_MAX;
	priority_queue<pair<int,int>>q;
	dis[st]=0;
	q.push({
   
   0,st});
	while(q.size())
	{
   
   
		int w=-q.top().first;
		int u=q.top().second;
		q.pop();
		if(vis[u]) continue;
		vis[u]=1;
		for(auto v:G[u])
		{
   
   
			int to=v.first;
			int s=v.second;
			if(dis[to]>max(w,s))
			{
   
   
				dis[to]=max(w,s);
				q.push({
   
   -dis[to],to});
			}
		}
	}
}
int main()
{
   
   
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++) 
	{
   
   
		cin>>e[i].x>>e[i].y>>e[i].z;
		G[e[i].x].push_back({
   
   e[i].y,e[i].z});
		G[e