整除与同余的性质
整除的性质
1,a∣b⇔a∣(−b)⇔(−a)∣b⇔(−a)∣(−b)⇔∣a∣∣∣b∣a|b\Leftrightarrow a|(-b)\Leftrightarrow (-a)|b\Leftrightarrow (-a)|(-b) \Leftrightarrow |a|\mid |b|a∣b⇔a∣(−b)⇔(−a)∣b⇔(−a)∣(−b)⇔∣a∣∣∣b∣
2,b∣0(b≠0),1∣a(a≠0)b|0(b\ne 0),1|a(a\ne 0)b∣0(b=0),1∣a(a=0)
3,若a∣b,b∣c,则a∣c若a|b,b|c,则a|c若a∣b,b∣c,则a∣c
4,若a∣b,c∣d,则ac∣bd若a|b,c|d,则ac|bd若a∣b,c∣d,则ac∣bd
5,若a∣b,ka|b,ka∣b,k为自然数,则ak∣bka^k |b^kak∣bk
6,若a∣b,a∣c,m,n∈Z,则a∣(mb+nc)a|b,a|c , m,n\in Z,则a|(mb+nc)a∣b,a∣c,m,n∈Z,则a∣(mb+nc)
7,若a∣b,b≠0,则1≤∣a∣≤∣b∣a|b,b\ne0,则1\leq|a|\leq|b|a∣b,b=0,则1≤∣a∣≤∣b∣
8,若a∣b,b∣a,则a=±ba|b,b|a,则a=\pm ba∣b,b∣a,则a=±b
同余的性质
定义:a≡b(modm)⇔m∣(a−b)⇔a=km+b(k∈Z)a\equiv b\pmod{m}\Leftrightarrow m|(a-b)\Leftrightarrow a=km+b(k\in Z)a≡b(modm)⇔m∣(a−b)⇔a=km+b(k∈Z)
1,自反性: a≡a(modm)a\equiv a\pmod{m}a≡a(modm)
2,对称性: 若a≡b(modm)a\equiv b\pmod{m}a≡b(modm),则b≡a(modm)b\equiv a\pmod{m}b≡a(modm)
3,传递性: 若a≡b(modm),b≡c(modm)a\equiv b\pmod{m},b\equiv c\pmod{m}a≡b(modm),b≡c(modm),则a≡c(modm)a\equiv c\pmod{m}a≡c(modm)
4,同余式间的运算:若a≡b(modm),c≡d(modm)a\equiv b\pmod{m},c\equiv d\pmod{m}a≡b(modm),c≡d(modm)
则a+c≡b+d(modm)a+c\equiv b+d\pmod{m}a+c≡b+d(modm),ac≡bd(modm)ac\equiv bd\pmod{m}ac≡bd(modm)
5,若a≡b(modm)a\equiv b\pmod{m}a≡b(modm),则ak≡bk(modm),ka^k\equiv b^k\pmod{m},kak≡bk(modm),k为正整数
7,模数的乘法:若a≡b(modm),则有ak≡bk(modmk),ka\equiv b\pmod{m},则有ak\equiv bk\pmod{mk},ka≡b(modm),则有ak≡bk(modmk),k为正整数
8,模数的除法:若ac≡bc(modm),gcd(m,c)=d,则a≡b(modm/d)ac\equiv bc\pmod{m},gcd(m,c)=d,则a\equiv b\pmod{m/d}ac≡bc(modm),gcd(m,c)=d,则a≡b(modm/d)
9,传递性2:若a≡b(modm),且d∣m,则a≡b(modd)a\equiv b\pmod{m},且d|m,则a\equiv b\pmod{d}a≡b(modm),且d∣m,则a≡b(modd)