逆元的意义及其求法

逆元的意义及其求法

意义

通俗的讲，逆元就可以看作是一个数的倒数的形式，不过是在取模的意义下，所以对于同一个数，在不同的模数下，逆元也是不一样的
那么他的形式就可以写作：$ax\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，$x$就是$a$在模$m$意义下的逆元，但当且仅当$gcd(a,m)=1$时，在模$m$意义下$a$有逆元

那么逆元有什么用呢？
他的用处十分广泛，当我在遇到组合数时，常常会取模，但是分数形式是不能直接取模的
即$\frac{b}{a}\ne \frac{b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m}{a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$,但是$\frac{b}{a}\equiv b\ast a^{-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$

求法

逆元的求法很多，需要根据具体情况来选择

费马小定理（模数为质数）

由费马小定理可得，当$gcd(a,p)=1$且$p$为质数时,有$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
$\Rightarrow a\ast a^{p-2}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
$\Rightarrow a^{p-2}$就是$a$在模$p$意义下的逆元
快速幂即可解决
时间复杂度$O(logp)$

扩欧(万能)

其实一看到$ax\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，就很容易想到扩欧
转换为$\Rightarrow ax+km=1$
那么直接扩欧解决
这种方法，只要存在逆元就一定能求解
时间复杂度$O(logn)$

递推求多个逆元

题目中往往要求我们求出多个逆元，且求单个逆元的时间复杂度为$O(1)$,显然以上两种方法很难解决，于是考虑递推求满足一些特殊性质(下文会提到)的多个逆元

线性求逆元

结论：$inv[i]=(p-p/i)\ast inv[p\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}i]\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$
推导过程：
令$p=i\ast n+k,1\le n<p,0\le k<i$
$\Rightarrow n=p/i,k=p\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}i$
$\Rightarrow i\ast n+k\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
$\Rightarrow -i\ast n\equiv k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
两边同乘$i^{-1}\ast k^{-1}$
$\Rightarrow -n\ast inv[k]\equiv inv[i](\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
$\Rightarrow inv[i]\equiv (p-p/i)\ast inv[p\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}i](\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
$\Rightarrow inv[i]=(p-p/i)\ast inv[p\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}i]\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$
同时预处理$inv[1]=1$,那么就可以线性求解逆元了
时间复杂度$O(n)$

线性求阶乘逆元

由于求解逆元其实就可以看作是求解倒数
那么由于$\frac{1}{(n+1)!}\ast (n+1)=\frac{1}{n!}$
$\Rightarrow inv[n!]=inv[(n+1)!]\ast (n+1)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$