割点

割点

定义

在无向连通图中，如果将其中一个点以及所有连接该点的边去掉，图就不再连通，那么这个点就叫做割点（cut vertex / articulation point）。

例如，在下图中，$0、3$是割点，因为将$0$和$3$中任意一个去掉之后，图就不再连通。如果去掉0，则图被分成$1、2$和$3、4$两个连通分量；如果去掉$3$，则图被分成$0、1、2$和$4$两个连通分量。

如何求割点

$Tarjan$算法；

可以使用$Tarjan$算法求割点（注意，还有一个求连通分量的算法也叫$Tarjan$算法，与此算法类似）

首先选定一个根节点，从该根节点开始遍历整个图（使用$DFS$）。

对于根节点，判断是不是割点很简单——计算其子树数量，如果有$2$棵即以上的子树，就是割点。因为如果去掉这个点，这两棵子树就不能互相到达。

对于非根节点，判断是不是割点就有些麻烦了。我们维护两个数组$dfn[i]$和$low[i]$，$dfn[u]$表示顶点$u$第几个被（首次）访问，$low[u]$表示顶点$u$及其子树中的点，通过非父子边（回边），能够回溯到的最早的点（$dfn$最小）的$dfn$值（但不能通过连接$u$与其父节点的边）。对于边$(u,v)$，如果$low[v]>=dfn[u]$，此时$u$就是割点。

但这里也出现一个问题：怎么计算$low[u]$。

假设当前顶点为$u$，则默认$low[u]=dfn[u]$，即最早只能回溯到自身。

有一条边$(u,v)$，如果$v$未访问过，继续$DFS$，$DFS$完之后，$low[u]=min(low[u],low[v])$；

如果v访问过（且$u$不是$v$的父亲），就不需要继续$DFS$了，一定有$dfn[v]<dfn[u]$，$low[u]=min(low[u],dfn[v])$。

代码实现（模板题）

#include<bits/stdc++.h>
#define M 200009
using namespace std;
int dfn[M],cnt,low[M],child,sign,n,m;
bool cut[M];
int nxt[M],to[M],first[M],tot;
void add(int x,int y){
	nxt[++tot]=first[x];
	first[x]=tot;
	to[tot]=y;
}
void tarjan(int u,int fa){
	dfn[u]=low[u]=++sign;
	for(int i=first[u];i;i=nxt[i]){
		int v=to[i];
		if(!dfn[v]){
			tarjan(v,fa);
			low[u]=min(low[v],low[u]);
			if(u!=fa&&low[v]>=dfn[u]&&!cut[u]) cut[u]=1,cnt++;
			if(u==fa) child++;
		}else low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}if(u==fa&&child>1&&!cut[u]) cut[u]=1,cnt++;
}
int main(){
	int x,y;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y),add(y,x);
	}for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) child=0,tarjan(i,i);
	printf("%d\n",cnt);
	for(int i=1;i<=n;i++) if(cut[i]) printf("%d ",i); 
	return 0;
}