整除和同余相关理论

下面的所有知识均属数论范畴。

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$Lucas$ 定理

当 $p$ 为质数时有：

$$C_n^m\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p=C_{n/p}^{m/p}\ast C_{n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p}^{m\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$$

代码就不贴了 （实际上是懒）。

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如果 $p$ 不为质数呢？

那么我们先用唯一分解定理将 $p$ 分解：
$$p=\sum _{k_i\in Prime}{k}_i^{{\alpha }_i}$$
然后把原式拆分为若干个同余方程，最后用中国剩余定理合并即可。

现在我们讨论如何求 $C_n^m\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{k}_i^{{\alpha }_i}$，而 $C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$，所以问题本质上是求阶乘的取模。

设我们要求的是 $P!\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{k}_i^{{\alpha }_i}$，那么我们可以把 $P!$ 包含的所有 $k_i$ 质因子取出，由于剩下的数与模数互质，所以我们就可以直接求逆元了。

所以最终要求的问题是求：

$$\frac{\frac{n!}{k_i^{{\beta }_1}}}{\frac{m!}{k_i^{{\beta }_2}}\cdot \frac{(n-m)!}{k_i^{{\beta }_3}}}\cdot k_i^{{\beta }_1-{\beta }_2-{\beta }_3}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{k}_i^{{\alpha }_i}$$

不过我们还是先从研究 $P!\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{k}_i^{{\alpha }_i}$ 开始。

同 $OI-wiki$，我们用 $22!\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{3}^2$ 举例。

我们知道：
$$22!=1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8\times 9\times 10\times 11\times 12\times 13\times 14\times 15\times 16\times 17\times 18\times 19\times 20\times 21\times 22.$$

我们把 $3$ 的倍数提出来，化简一下有：
$$22!=3^7\times (1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7)\times (1\times 2\times 4\times 5\times 7\times 8\times 10\times 11\times 13\times 14\times 16\times 17\times 19\times 20\times 22)$$

第一个部分是 $k_i$ 的 $\lfloor \frac{P}{k_i}\rfloor$ 次幂，这个部分只需要记录指数，不需要求具体的值；

第二个部分是 $\lfloor \frac{P}{k_i}\rfloor !$，可以递归求解；

第三个部分是 $1\times 2\times 4\times 5\times 7\times 8\times 10\times 11\times 13\times 14\times 16\times 17$，仔细观察可以发现：
$$1\times 2\times 4\times 5\times 7\times 8\equiv 10\times 11\times 13\times 14\times 16\times 17(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{k}_i^{{\alpha }_i})$$
形式化地，有：（$t\in Z_{+}$）
$$\prod _{i=1,\gcd (i,k_i)=1}^{k_i^{{\alpha }_i}}i\equiv i=1,\gcd (i,k_i)=$$