【USACO 2010 Nov Gold】买饲料

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#单调队列 #usaco

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单调队列优化dp

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本文探讨了一种优化算法，用于解决约翰在回家途中如何在多个商店购买并运输饲料的问题，以达到最小化总成本的目的。算法利用背包问题的思路，并通过单调队列进行优化，确保在给定的限制条件下找到最经济的购买方案。

Description

约翰开车回家，准备顺路买点饲料了。回家的路程一共有E公里，一路上会经过K家商店，第i家店里有Fi 吨饲料，售价为每吨Ci元。约翰打算一共买N吨饲料，可以保证所有商店的库存和不会少于N。除了购买饲料要钱，运送饲料要花油钱，约翰的卡车上如果装着X吨饲料，那么他行驶一公里会花掉X^2元，行驶D公里需要DX^2元。已知第i家店距离起点有Xi公里，那么约翰在哪些商店买饲料运回家，才能做到最省钱呢？

Input

第一行：三个整数：N，E和K，1 ≤ N ≤ 10000，1 ≤ E ≤ 500，1 ≤ K ≤ 500
第二行到N + 1行：第i + 1行有三个整数：Xi，Fi和Ci，0 < Xi< E，1 ≤ Fi≤ 10000，1 ≤ Ci≤ 10^7

Output

单个整数：表示购买及运送饲料的最小费用

Sample Input

2 5 3

3 1 2

4 1 2

1 1 1

Sample Output

Hint

（在离家较近的两家商店里各购买一吨饲料，则花在路上的钱是1 + 4 = 5，花在店里的钱是2 + 2 = 4）。

显然是个背包，发现可以单调队列优化，需要注意的是限制条件，如果大了的话要提前更新。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Maxn=505;
#define int long long
int f[Maxn][Maxn*20];
int l,r,q[Maxn*20];
int N,E,K;
struct info{
	int x,f,c;
	bool operator <(const info&rhs)const{
		return x<rhs.x;
	}
}s[Maxn];
signed main(){
	scanf("%lld%lld%lld",&K,&E,&N);
	for(int i=1;i<=N;++i){
		scanf("%lld%lld%lld",&s[i].x,&s[i].f,&s[i].c);
		s[i].f=min(s[i].f,K);
	}
	sort(s+1,s+N+1);
	memset(f,63,sizeof(f));
	f[0][0]=0;
	for(int i=1;i<=N;++i){
		q[l=r=1]=0;
		int jt=0,jq=1;
		for(;jq<=K;++jq){
			while(l<=r&&f[i-1][jq]+jq*jq*(s[i].x-s[i-1].x)-jq*s[i].c<=f[i-1][q[r]]+q[r]*q[r]*(s[i].x-s[i-1].x)-q[r]*s[i].c){
				for(;jt<=q[r];++jt){//来提前更新，因为i-1大的不能i小的 
					while(l<r&&jt-q[l]>s[i].f)++l;
					f[i][jt]=f[i-1][q[l]]+q[l]*q[l]*(s[i].x-s[i-1].x)+(jt-q[l])*s[i].c;		
				}
				--r;
			}
			q[++r]=jq;
		}
		for(;jt<=K;++jt){
			while(l<r&&jt-q[l]>s[i].f)++l;
			f[i][jt]=f[i-1][q[l]]+q[l]*q[l]*(s[i].x-s[i-1].x)+(jt-q[l])*s[i].c;
		}
	}
	cout<<f[N][K]+K*K*(E-s[N].x)<<endl;
	return 0;
}