简单的序列

最新推荐文章于 2023-04-22 09:38:13 发布

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#dp #括号序列

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该博客讨论了如何计算满足特定条件的括号序列对（p，q）的数量，其中p + s + q形成一个合法的括号序列。内容涉及输入输出格式，样例输入输出，以及数据范围和约定，并提出了解决问题的关键技巧，包括括号序列的合法判断和状态转移方程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

　　从前有个括号序列s，满足|s|=m。
　　你需要统计括号序列对（p,q）的数量。
　　其中（p,q）满足|p|+|s|+|q|=n，且p+s+q是一个合法的括号序列。

Input

　　从文件bracket.in中读入数据。
　　第一行两个正整数n,m。
　　第二行一个长度为m的括号序列，表示s。

Output

　　输出到文件bracket.out中。
　　输出一行一个整数，表示符合条件的(p,q)的数量对10^9+7取模的值。

Sample Input

4 1

(

Sample Output

Hint

bracket.in
4 4
(())
bracket.out
1
bracket.in
4 3
(((
bracket.out
0
【数据范围与约定】
　　对于10%的数据，n≤20；
　　对于25%的数据，n≤200；
　　对于另外5%的数据，n=m；
　　对于55%的数据，n−m≤200；
　　对于100%的数据，1≤m≤n≤100000 ,n−m≤2000。

好题，几个有启发的小技巧。

1、括号序列合法：“（”：-1，“）”：1，合法维护前缀和sum=0

2、f[i][j]表示前i个括号中，未被匹配的左括号有多少个，则g[i][j]（前i个括号中，未被匹配的右括号有多少个）=f[i][j]

对于(() 我们将它反向之后 =》())，岂不就可以互相转化！！！

我们统计出S有多少左括号没被匹配数量L，右括号没被匹配数量r，则：

ans=f[i][r+j]*f[n-m-i][L+j](r<=i<=n-m-L)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5+10,Mod = 1e9+7;
#define ll long long
int L,r,ans;
int n,m,a[N];
int f[2010][2010];
inline void init(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;++i){
		char c=getchar();while((c^'(')&&(c^')'))c=getchar();
		a[i]=(c=='('?1:-1);
		if(~a[i])++L;
		else if(L&&a[i]==-1)--L;
		else if(!L&&a[i]==-1)++r;
	}
}
inline void dp(){
	f[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n-m;++i){
		for(int j=0;j<=i;++j){
			if(j^0)(f[i][j]+=f[i-1][j-1])%=Mod;
			(f[i][j]+=f[i-1][j+1])%=Mod;
		}
	}
}
inline void solv(){
	int mn=r,mx=n-m-L,Lim=n-m;
	for(int i=mn;i<=mx;++i)
		for(int j=0;r+j<=i&&L+j<=Lim-i;++j)
			(ans+=(ll)f[i][r+j]*f[Lim-i][L+j]%Mod)%=Mod;
	cout<<ans<<"\n";
}
int main(){
	init();
	dp();
	solv();
	return 0;
}