与众不同 RMQ——ST表的运用

本文介绍如何利用ST表(Sqrt-Decomposition Table)解决区间最长不重复序列(RMQ,Range Maximum Query)的问题。通过预处理和倍增求LCA的思想,可以有效地找出给定区间内连续互不相同序列的最大长度。具体实现中,利用ST表的单调性进行二分查找确定分界点,然后结合RMQ查询得出答案。
inline void ST(int n){
	int maxlog=log2(n);
	for(int j=1;j<=maxlog;++j)
		for(int i=1;i+(1<<j-1)-1<=n;++i)
			mx[i][j]=max(mx[i][j-1],mx[i+(1<<j-1)][j-1]);
}

预处理,本质是个dp,倍增求lca思想类似。

inline int Query(int l,int r){
	if(l>r)return 0;
	int maxlog=log2(r-l+1);
	return max(mx[l][maxlog],mx[r-(1<<maxlog)+1][maxlog]);
}

回答,就是左右两边拼起来,为了避免不漏,我们取最大的log。

Description

  A是某公司的CEO,每个月都会有员工把公司的盈利数据送给A,A是个与众不同的怪人,A不注重盈利还是亏本,而是喜欢研究“完美序列”:连续的互不相同的序列。A想知道区间[L,R]之间最长的完美序列。

Input

  第一行两个整数N,M(1<=N,M<=200000),N表示连续N个月,编号为0到N-1,M表示询问的次数。第二行N个整数(绝对值不超过106),第i个数表示该公司第i个月的盈利值。接下来M行每行两个整数L,R(0<=L<=R<=N-1),表示A询问的区间。

Output

  输出M行,每行一个整数对应询问区间内的完美序列的最长长度。

Sample Input

9 2 2 5 4 1 2 3 6 2 4 0 8 2 6

Sample Output

6 5

设st[i]为当前数i的最长完美序列开头位置,则st[i]=max(st[i-

### ST RMQ 问题 ST (Sparse Table)是一种用于解决静态数组上的区间最值查询(Range Minimum/Maximum Query, RMQ)的数据结构。它通过预处理的方式,在 $O(n \log n)$ 的时间复杂度下完成初始化,并支持在 $O(1)$ 时间内回答任意区间的最小值或最大值。 #### 预处理阶段 为了构建 Sparse Table,我们需要预先计算出对于每一个起点位置 `i` 和每种长度为 $2^j$ 的子区间内的最小值或最大值。具体来说: $$ f[i][j] = \min(f[i][j-1], f[i + 2^{j-1}][j-1]) $$ 或者 $$ f[i][j] = \max(f[i][j-1], f[i + 2^{j-1}][j-1]) $$ 其中,`f[i][j]` 示从第 `i` 个元素开始的连续 $2^j$ 个数中的最小值或者最大值[^1]。 此过程可以通过动态规划来实现,其伪代码如下所示: ```python def preprocess_sparse_table(array): n = len(array) logn = int(math.log2(n)) + 1 st = [[0]*logn for _ in range(n)] # Initialize the base case (intervals of length 1). for i in range(n): st[i][0] = array[i] # Build sparse table. for j in range(1, logn): for i in range(n - (1 << j) + 1): st[i][j] = min(st[i][j-1], st[i + (1 << (j-1))][j-1]) return st ``` #### 查询阶段 一旦完成了上述预处理工作,则可以快速响应任何范围 `[L,R]` 上的最大值或最小值请求。我们只需要找到满足条件的最大整数 k ,使得 $2^k ≤ R-L+1$, 并比较两个重叠部分即可得出最终结果: $$ result = \min(\text{st}[L][k],\text{st}[R-(2^k)+1][k]) $$ 对于最大值情况则相应替换 $\min()$ 函数为 $\max()$. 下面是基于之前准备好的稀疏执行实际查询的一个例子: ```python import math def query_min(L, R, st, n): k = int(math.log2(R - L + 1)) return min(st[L][k], st[R - (1 << k) + 1][k]) # Example Usage: array = [4,7,9,7,8,3,2] st = preprocess_sparse_table(array) print(query_min(1, 5, st, len(array))) # Output should be minimum value between index 1 to 5 inclusive. ``` 这种技术非常适合那些数据不会改变的应用场景之中,因为它不提供修改操作的支持;但是当面对只读型大数据集时,它的效率是非常高的。
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