Math Reference Notes: 初等函数

初等函数包括几类基本的函数：代数函数、三角函数、指数函数和对数函数。它们的定义、性质及图像在数学中占据重要地位。

---

1. 代数函数（Algebraic Functions）

代数函数由有限次的加、减、乘、除和求幂运算构成。具体包括多项式函数、有理函数和无理函数。

1.1 多项式函数（Polynomial Functions）

多项式函数是形如 $f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$ 的函数，其中 $a_i$ 是常数，$n$ 是非负整数。

• 性质:

  • 定义域: 所有实数。
  • 值域：所有实数。
  • 连续性: 多项式函数在其定义域内处处连续。
  • 可导性: 多项式函数在其定义域内处处可导。
  • 对称性:
    • 偶次多项式函数关于 y 轴对称，例如 $f(x)=x^2$。
    • 奇次多项式函数关于原点对称，例如 $f(x)=x^3$。
  • 端行为: 高次项 $a_n{x}^n$ 决定函数的端行为。若 $a_n>0$，则在 $x\to \infty$ 时，$f(x)\to \infty$；若 $a_n<0$，则在 $x\to \infty$ 时，$f(x)\to -\infty$。
  • 零点：多项式函数最多有 $n$ 个实数零点（重根按重数计算），其中 $n$ 是多项式的最高次数。

• 基本性质:

  • 零点：$f(x)=0$ 处的零点可以通过因式分解或使用求根公式求解。
  • 极值点：多项式函数在其导函数 $f^{\prime }(x)$ 的零点处取得极值。
  • 凹凸性：多项式函数在其二阶导数 $f^{\prime \prime }(x)$ 的零点处取得凹凸性的变化点。

例:

• 二次多项式: $f(x)=3x^2+2x+1$，其图像是开口向上的抛物线。
• 三次多项式: $g(x)=-x^3+4x$，其图像是有一个拐点的曲线。

1.2 有理函数（Rational Functions）

有理函数是两个多项式的商，形如 $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$，其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 都是多项式，且 $Q(x)\ne 0$。

• 性质:

  • 定义域: 使分母不为零的所有实数。
  • 间断点: 在分母为零的点处有间断或垂直渐近线。
  • 端行为: 由分子和分母的最高次项决定。
    • 若 $\mathrm{deg}(P)<\mathrm{deg}(Q)$，则 $f(x)\to 0$ 当 $x\to \pm \infty$。
    • 若 $\mathrm{deg}(P)=\mathrm{deg}(Q)$，则 $f(x)\to \frac{a_n}{b_n}$ 当 $x\to \pm \infty$，其中 $a_n$ 和 $b_n$ 分别是 $P$ 和 $Q$ 的最高次项系数。
    • 若 $\mathrm{deg}(P)>\mathrm{deg}(Q)$，则 $f(x)\to \pm \infty$ 当 $x\to \pm \infty$。
  • 水平渐近线：如果 $\mathrm{deg}(P)=\mathrm{deg}(Q)$，水平渐近线是 $y=\frac{a_n}{b_n}$。
  • 斜渐近线：如果 $\mathrm{deg}(P)=\mathrm{deg}(Q)+1$，则函数可能有斜渐近线，可以通过长除法找到。

• 基本性质:

  • 连续性：在定义域内连续，但在使分母为零的点处不连续。
  • 垂直渐近线：在 $Q(x)=0$ 处的 $x$ 值对应的垂直渐近线。
  • 水平或斜渐近线：根据分子和分母最高次项系数的关系确定。

例:

• $f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$，在 $x=1$ 处有垂直渐近线。
• $g(x)=\frac{2x+3}{x^2-4}$，在 $x=\pm 2$ 处有垂直渐近线。

1.3 无理函数（Irrational Functions）

无理函数包含根号运算，形如 $f(x)=\sqrt{P(x)}$，其中 $P(x)$ 是多项式。

• 性质:

  • 定义域: 使根号内的表达式非负的所有实数。
  • 连续性: 通常在根号内表达式为零处有端点，但如果根号内表达式是非负且连续的多项式，无理函数是连续的。
  • 可导性：无理函数在根号内表达式不为零的地方是可导的。

• 基本性质:

  • 无理函数在定义域内可能有端点。
  • 在端点处可能不可导。
  • 在定义域内其他地方是连续和可导的。

例:

• $f(x)=\sqrt{x}$，定义域为 $[0,\infty )$，在 $x=0$ 处有端点。
• $g(x)=\sqrt{x^2+1}$，定义域为所有实数。

2. 三角函数（Trigonometric Functions）

三角函数在描述周期现象和波动方面非常重要。主要的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。

2.1 正弦函数（Sine Function）

正弦函数 $\sin (x)$ 描述的是单位圆上角度 $x$ 的终点的 y 坐标。

• 性质:

  • 定义域: 所有实数。
  • 值域: ([-1, 1])。
  • 周期性: 周期为 $2\pi$，即 $\sin (x+2\pi )=\sin (x)$。
  • 对称性: 奇函数，即 $\sin (-x)=-\sin (x)$。
  • 零点：$\sin (x)=0$ 当且仅当 $x=k\pi$，其中 $k$ 是整数。

• 基本性质:

  • 极大值：$1$，在 $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$ 处取得，其中 $k$ 是整数。
  • 极小值：$-1$，在 $x=\frac{3\pi }{2}+2k\pi$ 处取得，其中 $k$ 是整数。
  • 波峰波谷：周期性极值点处有波峰（极大值）和波谷（极小值）。

例:

• $\sin (x)$ 的图像是一条周期为 $2\pi$ 的正弦波。

2.2 余弦函数（Cosine Function）

余弦函数 $\cos (x)$ 描述的是单位圆上角度 $x$ 的终点的 x 坐标。

• 性质:

  • 定义域: 所有实数。
  • 值域: ([-1, 1])。
  • 周期性: 周期为 $2\pi$，即 $\cos (x+2\pi )=\cos (x)$。
  • 对称性: 偶函数，即 $\cos (-x)=\cos (x)$。
  • 零点：$\cos (x)=0$ 当且仅当 $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$，其中 $k$ 是整数。

• 基本性质:

  • 极大值：$1$，在 $x=2k\pi$ 处取得，其中 $k$ 是整数。
  • 极小值：$-1$，在 $x=\pi +2k\pi$ 处取得，其中 $k$ 是整数。
  • 波峰波谷：周期性极值点处有波峰（极大值）和波谷（极小值）。

例:

• $\cos (x)$ 的图像是一条周期为 $2\pi$ 的余弦波。

2.3 正切函数（Tangent Function）

正切函数 $\tan (x)$ 描述的是正弦函数与余弦函数的比值，即 $\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$。

• 性质:

  • 定义域: {x∈R∣x≠π2+kπ,k∈Z}\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\}{x∈R∣x=2π​+kπ,k∈Z}。
  • 值域: 所有实数。
  • 周期性: 周期为 $\pi$，即 $\tan (x+\pi )=\tan (x)$。
  • 对称性: 奇函数，即 $\tan (-x)=-\tan (x)$。
  • 零点：$\tan (x)=0$ 当且仅当 $x=k\pi$，其中 $k$ 是整数。
  • 垂直渐近线：在 $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ 处有垂直渐近线。

• 基本性质:

  • 无极大值和极小值。
  • 周期性渐近线：在每个周期结束时趋向 $\pm \infty$ 或 $\mp \infty$。

例:

• $\tan (x)$ 的图像是周期为 $\pi$ 的正切波，每个周期内有两个垂直渐近线。

3. 指数函数（Exponential Functions）

指数函数是形如 $f(x)=a^x$ 的函数，其中 $a$ 是常数，$a>0$ 且 $a\ne 1$。

3.1 常见形式

• $e^x$，其中 $e$ 是自然对数的底数，约等于 2.71828。
• $a^x$，例如 $2^x$，$10^x$ 等。

3.2 性质

• 定义域: 所有实数。
• 值域: 所有正实数。
• 单调性:
  • 若 $a>1$，则 $a^x$ 是单调递增的。
  • 若 $0<a<1$，则 $a^x$ 是单调递减的。
• 连续性: 在定义域内连续。
• 可导性：在定义域内可导，且导数为 $a^x\ln (a)$。
• 端行为:
  • 若 $a>1$，则 $a^x$ 随 $x\to \infty$ 发散到 $\infty$，随 $x\to -\infty$ 收敛到 0。
  • 若 $0<a<1$，则 $a^x$ 随 $x\to \infty$ 收敛到 0，随 $x\to -\infty$ 发散到 $\infty$。
• 指数定律：
  • $a^{x+y}=a^x{a}^y$
  • $(a^x{)}^y=a^{xy}$
  • $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$

3.3 基本性质

• $e^0=1$
• $e^1=e$
• $e^{-1}=\frac{1}{e}$

例:

• $f(x)=2^x$，在 $x=0$ 处值为 1，随 $x$ 增大迅速增长。
• $g(x)=e^x$，在 $x=0$ 处值为 1，随 $x$ 增大迅速增长。

4. 对数函数（Logarithmic Functions）

对数函数是指数函数的逆函数。形如 $f(x)={\log }_a(x)$，其中 $a$ 是常数且 $a>0$，$a\ne 1$。

4.1 常见形式

• $\ln (x)$，即以 $e$ 为底的对数。
• ${\log }_{10}(x)$，即常用对数，以 10 为底。

4.2 性质

• 定义域: $(0,\infty )$。
• 值域: 所有实数。
• 单调性:
  • 若 $a>1$，则 ${\log }_a(x)$ 是单调递增的。
  • 若 $0<a<1$，则 ${\log }_a(x)$ 是单调递减的。
• 连续性: 在定义域内连续。
• 可导性：在定义域内可导，且导数为 $\frac{1}{x\ln (a)}$。
• 对数定律：
  • ${\log }_a(xy)={\log }_a(x)+{\log }_a(y)$
  • ${\log }_a\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_a(x)-{\log }_a(y)$
  • ${\log }_a(x^y)=y{\log }_a(x)$
• 换底公式：${\log }_a(x)=\frac{{\log }_b(x)}{{\log }_b(a)}$，其中 $b$ 是任意正数且不等于 1。

4.3 基本性质

• $\ln (1)=0$
• $\ln (e)=1$
• $\ln \left(\frac{1}{e}\right)=-1$

例:

• $f(x)=\ln (x)$，在 $x=1$ 处值为 0，随 $x$ 增大缓慢增长。
• $g(x)={\log }_{10}(x)$，在 $x=1$ 处值为 0，随 $x$ 增大缓慢增长。