代数数、超越数、代数函数、超越函数

最新推荐文章于 2023-11-07 13:05:46 发布

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本文介绍了代数数和超越数的概念及其区别。代数数是满足整系数代数方程的数，而超越数则不满足任何整系数代数方程。文中列举了一些著名的超越数例子，并探讨了超越数的重要性及其在解决古代几何问题中的应用。

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代數數是滿足整係數代數方程的數。這即是說若 $x\,$ 是一個代數數，那麼必然存在整数 $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0 (n\geq 1,a_n\neq 0)$ 令 $x\,$ 是以下方程的根：

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0$

在数论中，超越数是指任何一个不是代数数的数字（通常它是复数）。它满足以下条件——只要它不是任何一个整系数代数方程的根，它即是超越数。最著名的超越数是e以及π。

定义

超越数是代数数的相反，也即是说若 $x \,$ 是一个超越数，那么对于任何整数 $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0$ 都符合：

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \ne 0$

例子

超越数的例子包括：

刘维尔 $\left(Liouville \right)\,$ 常数： $\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!} = 0.110001000000000000000001000\ldots$
它是第一个确认为超越数的数，是于 1844年刘维尔发现的。
e
$e^a \,$ ，其中 $a \,$ 是除0以外的代数数。
π（林德曼-魏尔斯特拉斯定理，1882年）
e^π
$2^{\sqrt{2}}$ （2的√2次方）。
更一般地，若 $a \,$ 为零和一以外的任何代数数及 $b \,$ 为无理代数数则 $a^b \,$ 必为超越数。这就是格尔丰德-施奈德定理。
sin $1 \,$
ln $a\,$ ，其中 $a \,$ 为非一正有理数。
$\Gamma (\frac{1}{3}) \,$ $\left(\approx 2.67894 \right) \,$ ， $\Gamma (\frac{1}{4}) \,$ $\left(\approx 3.62561 \right) \,$ 及 $\Gamma (\frac{1}{6}) \,$ $\left(\approx 5.56632 \right) \,$ （参见伽玛函数）。

所有超越数构成的集是一个不可数集。这暗示超越数远多于代数数。可是，现今发现的超越数极少，甚至连 $\pi + e\,$ 是不是超越数也不知道，因为要证明一个数是超越数或代数数是十分困难的。

超越数的发现令一些古代尺规作图问题的不可能性得以证明。这包括著名的化圆为方问题，因 $\pi \,$ 是超越数而被确定为不可能的了。

参见

多项式
无理数
代数数
林德曼-魏尔斯特拉斯定理

代数函数是指包含加、减、乘、除和开方等基本算符的数学函数。非代数函数则被称为超越函数。

例子

$y = x 2$ 表示一抛物线的方程，一以x为变量的二次代数函数。

在数学领域中，超越函数与代数函数相反，是指那些不满足任何以多项式方程的函数，即函数不满足以变量自身的多项式为系数的多项式方程。换句话说，超越函数就是"超出"代数函数范围的函数，也就是说函数不能表示为有限次的加、减、乘、除和开方的运算。

严格的说，关于变量 z 的解析函数 ƒ(z) 是超越函数，如果该函数是关于变量z是代数无关的。

对数和指数函数即为超越函数的例子。超越函数这个名词通常被拿来描述三角函数，例如正弦、余弦、正割、余割、余切、正矢、半正矢等。

非超越函数则称为代数函数。代数函数的例子有多项式和平方根函数。

对代数函数进行不定积分运算能够产生超越函数。如对数函数便是在对双曲角围成的面积研究中，对倒数函数y = ¹⁄_x不定积分得到的。以此方式得到的双曲函数 sinh, cosh, tanh 都是超越函数。

微分代数的某些研究人员研究不定积分如何产生与某类“标准”函数代数无关的函数，例如将三角函数与多项式的合成取不定积分。

量綱分析

在量綱分析里，超越函数是很非常有用的，因为它们只在其引数无量綱时才有意义。因此，超越函数可以是量綱错误的显著来源。例如，log(10 m) 是个毫无意义的表示式。log(10 m)不同于 log(5 m / 3 m) 和 log(3) m，后两者是有实际意义的。log(10 利用对数恒等式，将m)展开为log(10) + log(m)能够更清晰的说明该问题：一个有量綱的非代数运算会产生毫无意义的结果。

一些例子

以下列出的函数都是超越函数: 除了少数特殊的情况, 对于一般的x不能通过有限次代数运算求出f(x).

$f_1(x)=x^\pi \$

$f_2(x) = c^x, \ c \ne 0, 1$

$f_3(x)=x^x \$

$f_4(x)=x^{\frac{1}{x}} \$

$f_5(x)= \log_c x, \ c \ne 0, 1$

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