BZOJ 2705 [SDOI2012]Longge的问题【Euler变形】

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2705: [SDOI2012]Longge的问题

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Description

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

Input

一个整数，为N。

Output

一个整数，为所求的答案。

Sample Input

Sample Output

HINT

【数据范围】

对于60%的数据，0<N<=2^16。

对于100%的数据，0<N<=2^32。

思路：如果直接遍历数据大不行，那就找出N的所有因子，这样就变少了，如果 GCD(i,N)=K,->GCD(i/K,N/K)=1（GCD(a，b)==1优先考虑欧拉，反之成立）, 对于一个因子对区间产生的影响就是区间内有多少数和N的最大因子是K,经过上述转化就成求N/K的欧拉函数了，直接上模板就行，求出欧拉函数后乘以K,就是因子K产生的影响，求所有因子之和就行了，由于N的因子在<=sqrt(N）的确定，就可以优化一下，对于i*i==N还需特判；

失误：有点思路但不清晰，知道从因子入手，还是差一点。

AC代码：

#include<cstdio>

typedef long long LL;

LL Euler(LL N)
{
	int i=0,eu=N;
	for(i=2;i*i<=N;++i)
	{
		if(N%i==0)
		{
			eu=eu/i*(i-1);
			while(N%i==0) N/=i;
		}
	}
	if(N>1) eu=eu/N*(N-1);
	return eu;
}
int main()
{
	LL N,i;
	while(~scanf("%lld",&N))
	{
		LL ans=0;
		for(i=1;i*i<N;++i)
		{
			if(N%i==0)
			{
				ans=ans+i*Euler(N/i)+N/i*Euler(i);
			 } 
		 } 
		 if(i*i==N) {
		 	ans+=i*Euler(i); 
		 }
		 printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
 }