HYSBZ 2190 仪仗队【容斥原理 OR Euler(两种)】

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欧拉函数

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容斥原理

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本文介绍了一种计算仪仗队整齐度的方法，通过数学原理分析，利用GCD和欧拉函数来确定站在特定位置能看见的学生数量，提出了两种算法实现方案。

仪仗队

Time Limit:10000MS Memory Limit:265216KB 64bit IO Format:%lld & %llu

Description

　　作为体育委员，C君负责这次运动会仪仗队的训练。仪仗队是由学生组成的N * N的方阵，为了保证队伍在行进中整齐划一，C君会跟在仪仗队的左后方，根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐(如下图)。　　　　现在，C君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数。

Input
　　共一个数N。

Output
　　共一个数，即C君应看到的学生人数。

Sample Input
　　4

Sample Output
　　9

Hint

【数据规模和约定】　　对于 100% 的数据，1 ≤ N ≤ 40000

思路：最直接：一个一个点判断依据：GCD(x,y)=1的话那么ans++; 因为如果两个点在一条直线上的话将上图看成直角坐标系 C君在原点，A,B两点如果在同一条直线上OA与OB的斜率相等，用向量来表示直线就是两点坐标，如果斜率相等坐标对应成比例，就是有相同的公约数；但是N达到4*10^4 跑一遍就16s了时间不够用，优化可以一列一列求，这时候x固定，y在一个区间内，就可以用Iep来求了，这一题特殊可以用Euler来求；

Iep: 将x轴，y轴特殊考虑即x,y都是[1,N-1] ,在某一列，x固定 y在[1,N-1] 求与x互质的y有多少个，直接上模板就行了；

Euler：N*N的可以发现关于对角线对称，特殊考虑第0行0列，在一列一列考虑：x固定，y只求一半： [1,x]，就可以用Euler了，两种都可以，打表快一点（线性时间）；

Iep:

#include<cstdio>

int num=0,pri[11];

void Euler(int N)
{
	int i=0; 
	num=0;
	for(i=2;i*i<=N;++i)
	{
		if(N%i==0)
		{
			pri[num++]=i;
			while(N%i==0) N/=i; 
		}
	 } 
	 if(N>1) pri[num++]=N; 
}
int Iep(int n)
{
	int i=0,ans=0;
	for(i=1;i<(1<<num);++i)//N达到int之巅->num=10->1024*10=10240 
	{
		int tem=1,cnt=0,j=0;
		for(j=0;j<num;++j)
	    {
	    	if((1<<j)&i)
	    	{
	    		tem*=pri[j];
	    		cnt++;
			}
		}
	    if(cnt&1) ans+=n/tem;
	    else ans-=n/tem;
	 } 
	 return n-ans;//返回互质个数 
}

int main()
{
	int N,i; 
	while(~scanf("%d",&N))
	{
		int ans=0;
		for(i=1;i<=N-1;++i)
		{	
		    Euler(i);
			ans+=Iep(N-1);
		 } 
		 if(N>=2) ans+=2;//第0行0列 
		 printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}

Euler:

逐个求：

#include<cstdio>

int Euler(int N)
{
	int i=0,eu=N;
	for(i=2;i*i<=N;++i)
	{
		if(N%i==0)
		{
			eu=eu/i*(i-1);
			while(N%i==0) N/=i; 
		}
	 } 
	 if(N>1) eu=eu/N*(N-1);
	 return eu;
}

int main()
{
	int N,i;
	while(~scanf("%d",&N))
	{
		int ans=0;
		for(i=1;i<=N-1;++i)
	    {
	    	ans+=Euler(i);
		}
		if(N>=2) ans=ans-1,ans*=2,ans+=2+1;
		printf("%d\n",ans); 
	}
	return 0;
}

欧拉表：

#include<cstdio>
#include<cstring>

const int MAXN=4*1e4+10;

int eu[MAXN];

void Euler()
{
	 int i=0,j=0;	memset(eu,0,sizeof(eu));//不能忘 
	 eu[1]=1;//根据此题  
	 for(i=2;i<=MAXN;++i)
	 {
	 	if(!eu[i])
	 	{
	 		for(j=i;j<=MAXN;j+=i)
			{
				if(!eu[j]) eu[j]=j;
				eu[j]=eu[j]/i*(i-1);
			 } 
		 }
	 }
}

int main()
{
	int N,i; 
	Euler();
	while(~scanf("%d",&N))
	{  
	    int ans=0;
	    for(i=1;i<=N-1;++i) ans+=eu[i]; 
	    if(N>=2)
	    ans--, ans*=2, ans+=3;
	    printf("%d\n",ans); 
	}
	return 0;
}