[51nod 1136 欧拉函数]

51nod 1136 欧拉函数
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对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler’s totient function、φ函数、欧拉商数等。例如：φ(8) = 4（Phi(8) = 4），因为1,3,5,7均和8互质。
Input
输入一个数N。(2 <= N <= 10^9)
Output
输出Phi(n)。
Input示例
8
Output示例
4

查了百度百科，上面是这么说的
通式：
其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。
φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。
注意：每种质因数只一个。 比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4
若n是质数p的k次幂， ，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。
设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值
φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。
欧拉函数是积性函数——若m,n互质，
特殊性质：当n为奇数时， , 证明与上述类似。
若n为质数则

其实思路很简单，找出它的质因数，然后用公式过一遍就Ok了；
但是有一种情况需要考虑，比如n=20的时候，20=2*2*5;它的质因数只有2和5；但是它的质因子2出现了两次；
所以20的欧拉函数值为20*（1-1/2）*（1-1/5）
实现代码的时候，需要考虑这种情况。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <cstring>
using namespace std;
int oula(int n,int mod,int s)
{
    if(n%mod==0) s-=s/mod;//当n能被mod整除的时候，用s-s/mod，即这一步 20*（1-1/2）
    while(n%mod==0) n/=mod; //这里处理有质因数多次使用的情况
    if(mod*mod>=n) 
    {
        if(n>1)
        return s-s/n;//如果处理到最后的n是素数
        else return s;
    }
    oula(n,mod+1,s);
}
int main()
{
    int n;
    while(cin>>n)
    {
        cout<<oula(n,2,n)<<endl;
    }
}

非递归做法：
原理和递归做法的一样，在此不再赘述。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int oula(int n,int mod,int s)
{
    while(mod*mod<=n)
    {
        if(n%mod==0) s-=s/mod;
        while(n%mod==0) n/=mod;
        while(n%mod!=0&&mod*mod<=n) mod++;
    }
    if(n>1)return s-s/n;
    else return s;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    printf("%d\n",oula(n,2,n));
}

---

以上是我自己的代码。百度百科上还有个更神奇的做法。

它将原本的
这个通式变了下形。将里面的1-1/pi 变成了(pi-1)/pi。
最后通项：{[（p1-1）(p2-1)(p3-1)……(pn-1)]/p1*p2*p3…….*pn}*n
即下面代码中的
这一步

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int eular(int n)
{
    int ret=1,i;
    for(i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            n/=i,ret*=i-1;
            while(n%i==0) n/=i,ret*=i;
        }
    }
    if(n>1) ret*=n-1;
    return ret;
}
int main ()
{
      int n,s;
      scanf("%d",&n);
      s=eular(n);
      printf("%d",s);
      return 0;
}