[JZOJ5736]斐波那契

最新推荐文章于 2019-08-19 17:14:33 发布

DOFYPXY

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分类专栏：数论

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这篇博客主要探讨如何利用矩阵快速幂算法求解斐波那契数列中，gcd(afn+bfn+1, cfn+dfn+1)的问题。首先介绍了一些gcd的基本性质，然后通过消元法将问题简化为gcd(a'fn+b'fn+1, d'fn+1)，进一步借助矩阵乘法计算fn模一个常数的值，并计算gcd(fn, a')。接着，利用gcd的性质将答案转化为gcd(fn+1, a') * gcd(a'fn+b'fn+1, d')的形式，最后只需求解gcd(fn, g*d)和gcd(fn+1, g*d)，其中g=gcd(fn+1, a')。博客还特别提醒注意a'和d'为0的特殊情况，整体算法复杂度为O(T*2^3*log(n))。" 118984030,10554546,大二学年学习规划：提升自我，全面发展,"['学习计划', '大二学生', '计算机应用', '奖学金争取', '自我提升']

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求 $\gcd (af_n+bf_{n+1},cf_n+df_{n+1})$ 。
首先有几个简单的性质：
$\gcd(f_{x},f_{y})=f_{gcd(x,y)}$
$\gcd(a,b)=\gcd(a-kb,b)$
若 $\gcd(b,c)=1$ ，那么 $\gcd(ab,c)=\gcd(a,c)$ 。
先通过辗转相除把 $c$ 消成 $0$ ，那么只要考虑 $\gcd (a'f_n+b'f_{n+1},d'f_{n+1})$
首先通过矩阵乘法我们可以求出 $f_n$ 在模一个常数 $a$ 下的值，那么就可以求 $\gcd(f_n,a)=\gcd(f_n\% a,a)$ 。
设 $g=\gcd(f_{n+1},a')$ ，那么答案就等于 $g\cdot\gcd (\frac{a'f_n+b'f_{n+1}}{g},\frac{d'f_{n+1}}{g})$ 。
因为 $\gcd (\frac{a'f_n+b'f_{n+1}}{g},\frac{f_{n+1}}{g})=1$ ，那么答案就是 $g\cdot\gcd (\frac{a'f_n+b'f_{n+1}}{g},d')=\gcd(a'f_n+b'f_{n+1},g\cdot d')$ 。
只需要求出 $\gcd(f_n,g\cdot d)$ 和 $\gcd(f_{n+1},g\cdot d)$ 即可。
注意特判 $a'=0$ 和 $d'=0$ 的情况。复杂度 $O(T\cdot2^3\log n)$ 。
代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
#define up(x,y) (x=(x+(y))%mod)
#define abs(x) (x<0?-(x):x)
using namespace std;
const int MOD=998244353;
int mod;
ll gcd(ll a,ll b)
{
    if(!b) return a;
    return gcd(b,a%b);
}
ll f[12];
struct matrix
{
    int h,w;
    ll a[2][2];
    matrix(int hx,int wx){memset(a,0,sizeof(a));h=hx;w=wx;}
    matrix operator *(matrix b)
    {
        matrix re(h,b.w);
        for(int i=0;i<h;i++)
            for(int j=0;j<b.w;j++)
                for(int k=0;k<w;k++)
                    up(re.a[i][j],a[i][k]*b.a[k][j]);
        return re;          
    }
}mf(2,2);
matrix ksm(matrix a,ll b)
{
    matrix re(a.h,a.w);
    for(int i=0;i<a.h;i++)
        re.a[i][i]=1;
    for(;b;b>>=1)
    {   
        if(b&1) re=re*a;
        a=a*a;
    }
    return re;
}
ll getf(ll k,int m)
{
    mod=m;
    matrix r=ksm(mf,k);
    return r.a[1][0];
}
int main()
{
    int ca;
    scanf("%d",&ca);
    mf.a[0][0]=mf.a[1][0]=mf.a[0][1]=1; 
    while(ca--)
    {
        ll n,a,b,c,d;
        scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&a,&b,&c,&d);
        while(c)
        {
            b-=(a/c)*d;a%=c;
            if(a<c) swap(a,c),swap(b,d);
        }

        if(!a){printf("%lld\n",getf(n+1,MOD)*gcd(b,d)%MOD);continue;}
        if(!d){printf("%lld\n",(getf(n,MOD)*a%MOD+getf(n+1,MOD)*b%MOD+MOD+MOD)%MOD);continue;}
        ll g=gcd(getf(n+1,a),a),ans=gcd(a*getf(n,g*d)+b*getf(n+1,g*d),g*d);

        printf("%lld\n",abs(ans)%MOD);
    }
    return 0;
}