[2018雅礼3-27]subset 分类讨论+三维偏序+二维偏序

首先有个显然的结论，对于一个集合$S$，当$a_x,b_x,c_x$均不为最大值时从$S$中删去$x$，那么$|S|\le 3$且一个$S$唯一对应一个答案。
我们先用$O(n\log ^2n)$的三维偏序预处理出对于每个$x$，有多少个$y$满足$a_x>a_y,b_x>b_y,c_x>c_y$，记作$d_x$。
类似的，用$O(n\log n)$的二维偏序预处理出有两维大于，另一维不限的个数，记作$dab_x,dbc_x,dac_x$。
于是讨论$|S|$：
1. $|S|=1$，显然所有单独的列都为一种合法的$S$，贡献$n$。
2. $|S|=2$，那么要从所有二元集合里去除某一列比另一列三维都大的情况，剩下的均为合法$S$，那么就是${n \choose 2}-\sum_{i=1}^nd_i$。
3. $|S|=3$，先考虑某一列三维均为最大的情况，记作$A$；再考虑某一列至少有两个最大值的情况，记作$B$，那么$|A|=\sum_{i=1}^n{d_i \choose 2},|B|=\sum_{i=1}^n{({dab_i\choose 2}+{dbc_i\choose 2}+{dac_i\choose 2})}$，但是$A$会在$B$中算重三次，所以最后贡献就是${n\choose 3}-|B|+2|A|$。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 100010
#define ll long long
using namespace std;
int n,c[N];
ll ans;
int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if(ch=='-') f=-1;
    for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
    return x*f;
}
struct node
{
    int x,y,z,d,dx,dy,dz;
}a[N],b[N];
void add(int x,int d){for(;x<=n;x+=(x&-x)) c[x]+=d;}
int qry(int x){int r=0;for(;x;x-=(x&-x)) r+=c[x];return r;}
bool cmpx(node p,node q)
{
    return p.x<q.x;
}
bool cmpy(node p,node q)
{
    return p.y<q.y;
}
ll G(int x)
{
    return (ll)x*(x-1)/2;
}
void solve(int L,int R,int l,int r)
{
    if(L>=R||l>=r) return ;
    int mid=(l+r>>1);
    for(int i=L;i<=R;i++)
        if(a[i].y<=mid) add(a[i].z,1);
        else a[i].d+=qry(a[i].z);   
    int top=L-1,tmp;
    for(int i=L;i<=R;i++)
        if(a[i].y<=mid) b[++top]=a[i],add(a[i].z,-1);
    tmp=top;
    for(int i=L;i<=R;i++)
        if(a[i].y>mid) b[++top]=a[i];
    for(int i=L;i<=R;i++)
        a[i]=b[i];
    solve(L,tmp,l,mid);
    solve(tmp+1,R,mid+1,r);             
}
int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        a[i].x=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        a[i].y=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        a[i].z=read();
    sort(a+1,a+n+1,cmpx);   
    solve(1,n,1,n);
    sort(a+1,a+n+1,cmpx);
    memset(c,0,sizeof(c));
    for(int i=1;i<=n;i++)
        a[i].dz+=qry(a[i].y),add(a[i].y,1);
    memset(c,0,sizeof(c));
    for(int i=1;i<=n;i++)
        a[i].dy+=qry(a[i].z),add(a[i].z,1);
    memset(c,0,sizeof(c));  
    sort(a+1,a+n+1,cmpy);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        a[i].dx+=qry(a[i].z),add(a[i].z,1); 
    ans=G(n)+n; 
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans-=a[i].d;
    ans+=G(n)*(n-2)/3;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ll A=G(a[i].d),B=G(a[i].dx)+G(a[i].dy)+G(a[i].dz);
        ans-=(B-2*A);
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}