CDQ 从二维偏序到三维偏序从逆序对到动态逆序对详解

最新推荐文章于 2022-03-23 16:24:19 发布

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本文详细介绍了CDQ分治思想及其在二维偏序（逆序对）和三维偏序（动态逆序对）问题中的应用。通过排序与分治的结合，解决了二维偏序问题，并探讨了如何扩展到三维偏序，强调了在三维偏序中时间维度的重要性。同时，文章提供了例题和动态逆序对问题的解决方案。

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CDQ 从二维偏序到三维偏序从逆序对到动态逆序对详解

CDQ 分治思想

CDQ分治，顾名思义，这个思想重点在于如何分治。
分：将问题从整体分解成几个小部分（一般是两个）。
治：考虑各部分之间的贡献并计算，把部分合并到整体。

二维偏序（逆序对）

二维偏序模板问题：
一个平面上，给出n个点（X,Y）。
定义：设 A,B 两点，如果A.x<B.x && A.y<B.y 则A点对B点产生贡献。
求每个点的权值。

最方便的解决办法当然是树状数组，对其中一维（x）排序，另一维（y）在以x的顺序插入树状数组中时，查询答案即可。
这里不累述。

还有一种方法就是CDQ分治：
附上自己写的伪代码：

void CDQ(int l,int r)
{
   
   
    if(r-l<1) return; // 结束条件
    
    /*
    分 
    预处理排序x；
    此时二分处理时左右区间左区间x全部小于右区间的x
    所以右区间不会对左区间产生贡献
    */
    int m = (l+r)>>1;  // 二分处理
    CDQ(l,m);  //  递归处理左边界
    CDQ(m+1,r);  //  递归处理右边界
    
    /*
    治
    合并区间时，由于递归处理，此时左右两部分的y是有序的  见下
    而且在分的时候x是有序的
    所以只有左区间会对右区间产生贡献
    我们便可以在线性时间内处理左区间对右区间的贡献并以y排好序
    */
    int p = l , q = m+1 , t = 0;
    while(q<=r || p<=m){
   
   
        /*
        指针移动法
        处理左区间对右区间的贡献；
        并把排好序的结构体数组付给中间数组temp
        */
    }
    t = 0;
    for(int i=l;i<=r;i++)   // 整体排序 所以说上面合并时已经有序
        z[i] = temp[++t];
}

给出例题： HDU 1541

三维偏序（动态逆序对）

在刚刚二维偏序的基础上我们给定n个点加入平面的顺序，每个点只考虑当前时间的点对它产生贡献，不考虑后加的点。
这时，应该扩充平面的点一个时间元素t，设定第一次加入点时t=1，往后时间t增加，一直到n。
这时A对B产生贡献，不仅需要A.x<B.x && A.y<B.y，还需要A.t<B.t，即B点存在时A点必定存在。
这便是一个三维偏序问题

那么我们如何处理三维偏序
我们已经知道分治+排序与树状数组+排序可以解决二维偏序问题， 排序一维+分治一维 = 二维 ， 排序一维 + 树状数组一维 = 二维 ，那我们能否 排序一维 + CDQ一维 + 树状数组一维 = 三维 ?
~~不可以~~
答案当然是可以

我大致讲一下: 首先排序使x有序，然后进行CDQ分治，其基本还是和二维偏序时操作一样，但是在整体合并的处理上，不是直接查找，而是以y的顺序插入到树状数组当中，然后以t查找。

这是大致思维
更高维的偏序问题我未接触过，但是应该和我上述一样，升维即可，树套树，CDQ套CDQ等等…

动态逆序对 HYSBZ - 3295 包含 AC代码 在这里插入图片描述