[2018雅礼集训1-23]盛大的庆典状压DP

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树

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状态压缩

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本文介绍了一种基于树形结构的动态规划算法，通过定义特定的状态转移方程，解决了涉及树形结构路径的最大值问题。文章详细阐述了如何利用子树特性进行状态压缩，并给出了完整的C++代码实现。

题面
考虑把每一对点的路径放到其lca上考虑，为叙述方便，记 $son_x$ 为当前点儿子中子树包含 $x$ 的那一个。设 $f_{i,S}$ 表示在子树 $i$ 中，只考虑 $S$ 那些儿子的最大值，在设 $g_{i,x}$ 表示 $son_x$ 中 $i$ 到 $x$ 的链强制不能选的最大值。
然后对于每个 $i$ ， $g$ 显然能 $O(n)$ 求出，就是 $f_{x,full_x}+\sum_{j\in x\to i}f_{j,full_j-son_x}$ 所以对于路径 $(x,y)$ 满足 $lca(x,y)=i$ ，就有转移：

f i, S = max {f i, S - s o n x - s o n y + g i, x + g i, y + 1} (137)

$f_{i,S}=\max\{f_{i,S-son_x-son_y}+g_{i,x}+g_{i,y}+1\}$
复杂度

O(n2+m∗2degi) O ( n 2 + m ∗ 2 d e g i ) $O(n^2+m*2^{deg_i})$ ，已经可以过了，好像还可以记个

mxx,y m x x , y $mx_{x,y}$ 表示选的路径端点分别在

x,y x , y $x,y$ 两个儿子中的最大值，然后就可以优化到

O(n2+n∗2degi) O ( n 2 + n ∗ 2 d e g i ) $O(n^2+n*2^{deg_i})$ ，不过我没写。
代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define N 1010
#define pii pair<int,int>
#define MP make_pair
#define PB push_back
#define fs first 
#define sc second
#define chkmax(x,y) x=max(x,y)
using namespace std;
int n,m,f[N][1030],g[N],fa[13][N],dep[N];
bool son[N][N];
vector<pii > q[N];
vector<int> e[N];
int read()
{
    int x=0;char ch=getchar();
    for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar());
    for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
    return x;
}
void dfs1(int v)
{
    dep[v]=dep[fa[0][v]]+1;son[v][v]=1;
    for(int i=0;i<e[v].size();i++)
        if(e[v][i]!=fa[0][v])   
        {
            fa[0][e[v][i]]=v;
            dfs1(e[v][i]);  
            for(int j=1;j<=n;j++)
                son[v][j]|=son[e[v][i]][j];
        }   
        else swap(e[v][i],e[v][0]); 
}
int lca(int x,int y)
{
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    for(int k=11;k>=0;k--)
        if(dep[fa[k][x]]>=dep[y]) x=fa[k][x];
    if(x==y) return x;
    for(int k=11;k>=0;k--)
        if(fa[k][x]!=fa[k][y]) x=fa[k][x],y=fa[k][y];
    return fa[0][x];        
}
void calg(int v,int add)
{
    g[v]+=add;
    for(int i=1;i<e[v].size();i++)  
        calg(e[v][i],add);
}
void dfs2(int v)
{
    int T=(1<<(e[v].size()-1))-1;   
    for(int i=1;i<e[v].size();i++)
    {   
        dfs2(e[v][i]);
        for(int s=0;s<=T;s++)
            if((s>>(i-1))&1) f[v][s]+=g[e[v][i]];
    }
    for(int i=0;i<q[v].size();i++)
    {
        int sx=0,sy=0;
        for(int j=1;j<e[v].size();j++)
        {
            if(son[e[v][j]][q[v][i].fs]) sx=j;
            if(son[e[v][j]][q[v][i].sc]) sy=j;
        }
        for(int s=0;s<=T;s++)
            if((!sx||((s>>(sx-1))&1))&&((!sy||(s>>(sy-1))&1)))
                chkmax(f[v][s],f[v][s-(sx?(1<<(sx-1)):0)-(sy?(1<<(sy-1)):0)]+g[q[v][i].fs]+g[q[v][i].sc]+1);
    }

    for(int i=1;i<e[v].size();i++)
        calg(e[v][i],f[v][T-(1<<(i-1))]);
    g[v]=f[v][T];   
}

int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int x=read(),y=read();
        e[x].PB(y);e[y].PB(x);
    }
    e[1].PB(0);
    dfs1(1);
    for(int k=1;(1<<k)<=n;k++)
        for(int i=1;i<=n;i++)
            fa[k][i]=fa[k-1][fa[k-1][i]];
    m=read();               
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x=read(),y=read();
        q[lca(x,y)].PB(MP(x,y));
    }
    dfs2(1);
    printf("%d\n",f[1][(1<<(e[1].size()-1))-1]);
    return 0;
}