微积分——函数导数不存在的几种典型情况

函数无导数的几种典型情况：

目录

1. 存在角点(corners),或者尖点(cusps)。

2. 存在垂直切线(vertical corners)。

3. 存在不连续点(discontinuties)。

4. 具有无限多振荡的连续函数。

---

1. 存在角点(corners),或者尖点(cusps)。

根据导数的定义，在角点或尖点处左右极限不相等，无法定义导数，故导数不存在。如下图1，图2所示：

----------------------图1 函数y = |x|在x = 0点存在角点----------------------------

----------------------图2 函数  在x = 0点存在尖点-------------------------

2. 存在垂直切线(vertical corners)。

存在垂直直线，函数无变化率，根据定义，不存在导数。如下图3所示：

----------------------图3 函数  在x = 0点存在垂直切线------------------------

3. 存在不连续点(discontinuties)。

不连续点处，没法定义导数。如下图所示：

----------------------图4 函数  在x = 0点无定义，不连续----------------

----------------------图5 函数  在x = 0点无定义，不连续-----------------------

----------------图6 函数  在x = 0点无定义，被移除------------------

----------------图7 函数  在x = 0点无定义，被移除,图形跳跃--------------

----------------图8 函数  在x = 0点无定义--------------------------------------

4. 具有无限多振荡的连续函数。

例如，

 。

我们可以将函数写成 

 (变量替换)。我们知道，  ,  。因此，函数 f (x) 当 x ⟶ 0 极限为0 ,而 x = 0 时函数为 0，当 x ⟶∞ 极限为 1 。根据函数连续性判别法，函数处处连续, 但 f (x) 对于所有 x ≠ 0 不可微(由导数的定义即可推出)。如下图所示：