数学术语之源——“齐次(homogeneity)”的含义

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分类专栏：数学与应用数学文章标签：齐次齐次微分方程齐次线性方程组齐次函数

于 2023-10-13 19:29:22 首次发布

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1. “homogeneous”的词源

“homogeneous”源自1640年代，来自中古拉丁词“homogeneus”，这个词又源自古希腊词“homogenes”，词义为“of the same kind(关于同一种类的)”，由“homos”(词义“same(相同的)”，参见“homo-”)+“genos ”(词义“kind, gender, race, stock(种类、性别、种族、类别)”)构成。名词为“homogeneity”，意思就是“相同的某种事物或类别”。

2. “齐次(homogeneous)”在数学中的起源与含义

“homogeneous”一词据称最早出现在Charles Hutton(英国数学家)的<<一部数学哲学辞典>>(A Mathematical and Philosophical Dictionary,V.II)卷2中，在第722页的“有待补充和更正(Addenda and Corrigenda)”条目下：“Somewhat concerning the reduction of some fluxional equations to homogeneous, and concerning homogeneous equations of different orders; and of reducing an homogenous fluxional equation of n-1 order to a fluxional equation of n - 1 order ....(涉及到一些微分方程的齐次化简，以及不同阶的齐次方程；以及将 n - 1 阶齐次流方程简化为 n - 1 阶微分方程......)”。

术语“homogeneous differential equation(齐次微分方程)”首次出现在1868年Edward Henry Courtenay 的论文<<微积分论：以及变分法>>( A Treatise on the Differential and Integral Calculus: And on the Calculus of Variations)中：“Prop. To determine the factor necessary to render a homogenous differential equation exact(命题：准确确定齐次微分方程所需的因子)”。

2.1 齐次微分方程(homogeneous differential equation)

对于一个微分方程，如果方程的每一项都包含这个函数或其微分之一，则称其为一个齐次微分方程(因为方程中的项都是待解的函数，从这个意义上说，它们是“同类的”)。例如，微分方程 $f^{'} + f^{2} = 0$ 是齐次的，但不是线性的，微分方程 $f^{'}+ x^{2} = 0$ 是线性的，但不是齐次的,而 $f_{xx} + f_{yy }= 0$ 是齐次线性微分方程。正如该词的词源所述，这个词在数学中的含义是“同种类型，同种性质，或者同类的任何其它事物”的含义，而并非次数相同，汉译名“齐次”具有一定的误导性。

2.2 齐次线性方程组(A homogeneous system of linear equations)

一个齐次线性方程组就是指形如

AX = 0

的线性方程组，其中，A是一个系数矩阵，而 X 是变量向量。称其为齐次，是因为方程组的所有常数项都是0，因此，余下的每一项都含有未知数，在这种意义上来说，余下的项都具有“待解未知数”这个“共同的类型”，这便是其“齐次”的含义。齐次线性方程组至少有一个解，即 0 向量(平凡解)；此外，若系数矩阵具有非零行列式，则此方程有无穷多个解。

2.3 齐次函数(homogeneous functions)

齐次函数的变量按某个比例因子增加,则其函数变成这个比例因子的某个幂的倍数。换句话说，如果将所有变量乘以因子λ(大于零)，则函数的值将乘以该因子的某个幂 $\lambda^{n}$ 。这个指数n称为次数(degree)，简称“次”。因此，这里的“齐次”的含义是“按相同比例增加”的这个共同特征。

两个简单例子：

(1) 一次齐次函数。将所有变量乘以 2，函数输出也乘以 2 。

(2) 二次齐次函数。将所有变量乘以 2，函数输出也乘以 $2^{2}$ 。

正式定义：

对于一个函数 $f$ ，若 $f (\lambda x_{1} ,...,\lambda x_{n})=\lambda^{r} f (x_{1} ,...,x_{n})$ (其中， $r$ 是一个整数， $\lambda \neq 0$ )，

则称函数 $f$ 是 $r$ 次齐次函数。

3. 总结

综上所述，“homogeneity”这个词(或其形容词“homogeneus”)在数学中表示“同种类型，同种性质，或者同类的任何其它事物”，汉译名“齐次”不明确，同时，由于方程中还涉及到“次数(degree)”这一术语，两者不是同一个事物，还容易混淆并具有一定的误导性。把“齐次”译为诸如“等类”、“等型”之类，或许更妥当一点。即便现在这个译名已经形成既定事实，但至少要通晓其本质含义，以免产生混淆。

参考资料：

Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (H) - MacTutor History of Mathematics

https://www.britannica.com/science/homogeneous-differential-equation