数学术语之源——(矩阵或行列式的)秩数(rank)

目录

1.   rank的词源

2.   rank在数学中的引入

3.   rank在数学中的含义

4.   秩数(rank)在线性代数中的正式定义

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1.   rank的词源

         英语单词rank始于14世纪，其词义为“row(行), line(列), or series(序列);” 来自古法语 “ranc”，现代法语为“rang” ，其词义为“row(行), line(线)”。

“社会阶层(a social division)、阶级(class of persons)”的含义始于15世纪初。“社会中较高的地位或地位(high status or position in society)”的含义始于15世纪初。“相对位置(a relative position)”的含义始于1600年左右。“棋盘上的一排方格(one of the rows of squares across a chess board)”的含义始于1570年代。“士兵的队伍(the body of private soldiers)”的含义始于1809年。

2.   rank在数学中的引入

    在数学中，(行列式或矩阵的)“rank”由 F. G. Frobenius 创造，在他的论文《关于齐次(齐性)全微分方程》(Uber homogene totale Differentialgleichungen)( J. reine angew. Math. 第86卷(1879)第 1 页)中，他使用了德语单词“rang”(根据 C. C. MacDuffee 的《矩阵理论》(The Theory of Matrices)( Springer (1933))。Frobenius当时针对行列式定义“rank”，但该术语却传播开了。

    在英语中，矩阵的“rank”可以在 T. J. Bromwich 于 1906 年出版的专著《二次型及其通过不变因子的分类》(Quadratic forms and their classification by means of invariant factors)中找到。该引文由 Rod Gow 提供，他写道，可能在 G. B. Mathews 于 1900 年左右出版的一本早期书籍(R. F. Scott 于 1880 年出版的行列式书籍的修订版)中包含该词。

    “rank”也可在 1907 年 Maxime Bôcher 所著的《高等代数导论》(Introduction to Higher Algebra)中找到：其中的定义与 Frobenius 相同：“Definition 3. A matrix is said to be of rank r if it contains at least one r-rowed determinant which is not zero, while all determinants of order higher than r which the matrix may contain are zero. A matrix is said to be of rank 0 if all its elements are 0. ... For brevity, we shall speak also of the rank of a determinant, meaning thereby the rank of the matrix of the determinant.”(定义3：如果一个矩阵至少包含一个不为零的r行列式，且所有阶(order)高于r的行列式均为零，则称该矩阵的rank为r。如果一个矩阵的所有元素均为0，则称该矩阵的rank为0。……为了简便起见，我们也将讨论行列式的rank，即该行列式所在矩阵的rank 。) 这是现在行列式或矩阵中 rank 的意义。

    rank相关性: Charles Spearman在其发表于《美国心理学杂志》(American Journal of Psychology)第15卷(1904年)第72-101页的《两事物之间关联的证明与测量》(The Proof and Measurement of Association between Two Things)中建议，可以使用rank相关性来衡量变量之间的依赖性。他在发表于《英国心理学杂志》(British Journal of Psychology)第2卷(1906年)第100-101页的《测量相关性的‘英尺规则’》(sFoot-rule’s for Measuring Correlation)中进一步阐述了这一建议。

    Karl Pearson 在《相关性的进一步方法》(Further Methods in Correlation)中批评 Spearman 的方法时使用了rank相关这个术语，Drapers's Company Res. Mem. (Biometric Ser.) IV. (1907) 第25页：“任何两个rank相关都是不可靠或不可比的，除非我们假设频率分布具有相同的一般特征……由正态分布的假设提供……Spearman 博士认为一系列数据中的rank应该具有相关的特征，但他并没有将rank相关仅仅视为达到真正相关的垫脚石”[OED]。

3.   rank在数学中的含义

    牛津词典中关于该词的数学就用的解释：

    “Used variously, at the discretion of the author , to denote some integer that characterizes the entity being discussed.”(由作者自行决定以各种方式使用，以表示表征所讨论实体的某个整数数量。)

    在英语中，rank 本义指“行或行”，用在矩阵或行列式中指“矩阵中线性无关的行数或列数”，它本质上量化了矩阵中包含的信息的“大小”或“维度”。该术语的提出是为了帮助理解和求解线性方程组，确定线性系统的可控性和可观测性，以及分析通信的复杂性。

    而在汉语中，“秩”字并没有数量的意思，也没有行或列的意思，免强可与rank词义中的“阶级或阶层”对应的词义是“官阶”，而矩阵可以简化为行阶梯形矩阵，也可以说二者有一定的相似之处吧。但根据这个意义，“rank”应该翻译为“阶数”更为合理，若要翻译成“秩”，最好翻译成“秩数”更妥，以避免引起混淆。

4.   秩数(rank)在线性代数中的正式定义

    在线性代数中，矩阵 A 的秩数是其列生成(generated)(或张成(spanned))的向量空间的维数。这对应于 A 中线性无关列的最大数量。反过来，这等于其行张成向量空间的维数。因此，秩数是衡量由 A 编码的线性方程组和线性变换的“非退化性(nondegenerateness)”的指标。秩数有多个等价的定义。矩阵的秩数是其最基本的特征之一。

    秩通常用 rank(A) 或 rk(A) 表示；有时不写括号，如 rank A 。

    设A为一个矩阵，下面是几种等价定义：

(1)  A 的列秩是 A 的列空间的维数，A 的行秩是A的行空间的维数。

(2)  线性代数中的一个基本结果是，列秩和行秩始终相等。即线性无关的行或列的数量，简称为 A 的秩数。

(3)  如果一个矩阵的秩数等于同维矩阵中行数和列数中较小的一个，则称该矩阵为满秩矩阵(秩数=行数=列数)。如果一个矩阵不是满秩矩阵，则称该矩阵为秩亏矩阵(rank-deficient )。矩阵的秩亏矩阵(rank-deficiency)等于行数和列数中较小的一个与秩之间的差值。