行列式及其应用——行列式的引入-优快云博客

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1. 引入(Introduction)

1.1 从线性方程组求解切入行列式

行列式(determinants)是一种特定类型的代数表达式，使用专门的符号表示并使用系统的规则进行计算。引入行列式的最自然的方式就是考虑几个发明行列式所源于的问题中的几种简单情况——求解一般联立线性方程组(a general system of simultaneous linear equations)的正式解。

如果这个方程组是

(1)

$\displaystyle \left \{ \begin{array}{lrc} a_{1}x+a_{2}y+a_{3}=0 \\ \\ b_{1}x+b_{2}y+b_{3}=0 \end{array} \right .$ 。

则我们利用消元法立即可求出其解为

$\displaystyle x=\frac{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}$ , $\displaystyle y=\frac{a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}$ ；

按照同样的方法(消元法)，齐性方程组(常数项为0，所谓齐性即“同类”——待求的量均是未知数)

(2)

$\displaystyle \left \{ \begin{array}{lrc} a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z=0 \\ \\ b_{1}x+b_{2}y+b_{3}z=0 \end{array} \right .$

可以导出比例关系 $x:y:z = (a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}): (a_{3} b_{1}-a_{1} b_{3}):( a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1})$ ，

令 z = 1 即可得到与前面(1)相同的结果，从而得到这个比值。

考虑下列齐性方程组

(3)

$\displaystyle \left \{ \begin{array}{lrc} u_{1} \equiv a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z+a_{4}t=0 \\ \\ u_{2} \equiv b_{1}x+b_{2}y+b_{3}z+b_{4}t=0 \\ \\u_{3} \equiv c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z+c_{4}t=0 \end{array} \right .$ ,

在其派生的方程

$\lambda_{1} u_{1} +\lambda_{2} u_{2} + \lambda_{3} u_{3} = 0$

中，若 $\lambda_{1} a_{3} +\lambda_{2} b_{3} + \lambda_{3} c_{3} = 0$ , $\lambda_{1} a_{4} +\lambda_{2} b_{4} + \lambda_{3} c_{4} = 0$ ,则 z 和 t 的系数将消没；即，按照前面(2)的情况，若 $\lambda_{1}: \lambda_{2}: \lambda_{3} = (b_{3} c_{4}-b_{4} c_{3}): (c_{3} a_{4}-c_{4} a_{3}):( a_{3} b_{4}-a_{4} b_{3})$ 按这种比例取乘数，这个派生的方程就变成

(4) $Qx + Py = 0$ ,

其中，

$P = a_{2}(b_{3} c_{4}-b_{4} c_{3})+ b_{2}(c_{3} a_{4}-c_{4} a_{3})+ c_{2}( a_{3} b_{4}-a_{4} b_{3})$ ，

$Q = a_{1}(b_{3} c_{4}-b_{4} c_{3})+ b_{1}(c_{3} a_{4}-c_{4} a_{3})+ c_{1}( a_{3} b_{4}-a_{4} b_{3})$ 。

P 和 Q 的表达式形式非常相似，区别仅在于它们所涉及的系数集合。可以方便地写成

$P = \begin{bmatrix} a_{2} &a_{3}&a_{4} \\ b_{2} &b_{3}&b_{4} \\ c_{2} &c_{3}&c_{4} \\ \end{bmatrix}$ ，

称为 3 阶行列式。同理，

$Q = \begin{bmatrix} a_{1} &a_{3}&a_{4} \\ b_{1} &b_{3}&b_{4} \\ c_{1} &c_{3}&c_{4} \\ \end{bmatrix}$ 。

不难求得上述方程组的完整解为

评注：也就是说，在利用消元法求解线性方程组时，方程组的系数之间的运算关系必然遵循某种客观的规律，利用这种规律，我们只需研究其系数之间的特征，就能确定这个方程组的解。我们把其系数列为行列行式，即行列式形式，并研究其解与系数之间的关系，即行列式的计算规则和属性。

1.2 二阶和三阶行列式的展开方法

写出任意3阶行列式展开式的方便规则如下(归功于Sarrus,称为Sarrus法则)：

令行列式为

$\begin{bmatrix} a_{1} &a_{2}&a_{3} \\ b_{1} &b_{2}&b_{3} \\ c_{1} &c_{2}&c_{3} \\ \end{bmatrix}$ 。

按顺序重复列出第一列和第二列，得到具有五列的下图

在上图中，每条直线上的三个元素构成了一个三元素乘积。从左向右是下降的直线上的三元素乘积为正，从左向各是上升的直线上的三元素乘积为负。因此，上述行列式的展开式为

$a_{1} b_{2} c_{3} + a_{2} b_{3} c_{1} + a_{3} b_{1} c_{2} - a_{3} b_{2} c_{1} - a_{1} b_{3} c_{2} - a_{2} b_{1} c_{3}$ 。

在实际应用中，无需画线，只需想象重复一二列以辅助计算即可。

考虑三阶行列式

$D=\begin{bmatrix} a_{1} &a_{2}&a_{3} \\ b_{1} &b_{2}&b_{3} \\ c_{1} &c_{2}&c_{3} \\ \end{bmatrix}=a_{1} b_{2} c_{3} - a_{1} b_{3} c_{2} + a_{2} b_{3} c_{1} - a_{2} b_{1} c_{3} + a_{3} b_{1} c_{2} - a_{3} b_{2} c_{1}$ 。

展开式的每一项都形如 $\pm a_{\alpha}b_{\beta}c_{\gamma}$ ，其中 (α, β, γ ) 是 (1,2,3) 的一个排列，项中正负各一半。

若改变行列式中的行为列，但不改变 $a_{1},b_{2},c_{3}$ 的位置，则行列式的值不变，即:

$\begin{bmatrix} a_{1} &a_{2}&a_{3} \\ b_{1} &b_{2}&b_{3} \\ c_{1} &c_{2}&c_{3} \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{1} &b_{1}&c_{1} \\ a_{2} &b_{2}&c_{2} \\ a_{3} &b_{3}&c_{3} \\ \end{bmatrix}$ 。