[数学] Codechef September Challenge 2017 Weasel does Xor on Tree

最新推荐文章于 2020-03-17 15:44:11 发布

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分类专栏：数学杂题

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本文介绍了一种使用深度优先搜索（DFS）遍历树结构，并结合组合数原理来解决特定问题的方法。通过递归地计算每个节点的深度及路径上的节点数，实现了对于特定查询的有效处理。

令 $f_{i,j}$ 表示时间为 $i$ 的时候， $j$ 点的权值

那么 $f_{i,u}=\text{XOR}\{f_{i-1,v}|v\in son_u\}$

$f_{i-1,v}$ 用 $f_{i-1,v'}$ 带入不断展开

就可以得到 $f_{x,1}=\text{XOR}\{a_i*f_{0,i}\}$ ，其中 $a_i*f_{0,i}$ 表示 $a_i$ 个 $f_{0,i}$ 异或起来

手动展开一下发现这个系数就跟这个点的深度有关，可以递推得到

并且 $a_i$ 的递推形式就跟组合数的递推形式一样。

推一推就可以知道 $a_i={depth+x-2\choose depth-1}$

显然当 $a_i$ 为奇数的时候，点 $i$ 才有贡献。

考虑lucas定理，也就是说 $depth-1$ 的二进制要是 $depth+x-2$ 的子集

再转化就是 $x-1$ 与 $depth-1$ 没有重合，也就是and起来为0

然后就 $3^{\log n}$ 子集统计一下就好了

$x$ 很大，但是只有 $x$ 前面的一段二进制位是有用的， $x$ 对 $2^{\lceil \log_2 n\rceil}$ 取模就可以了

UPD:子集统计可以用高维前缀和，复杂度就降到了 $n\log n$

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N=1000010;

int n,m,cnt,imax,fa[N],dpt[N],G[N];
ll a[N];
struct iedge{
    int t,nx;
}E[N<<1];

inline void addedge(int x,int y){
    E[++cnt].t=y; E[cnt].nx=G[x]; G[x]=cnt;
    E[++cnt].t=x; E[cnt].nx=G[y]; G[y]=cnt;
}

int it;

void dfs(int x,int f){
    fa[x]=f; dpt[x]=dpt[f]+1;
    imax=max(imax,dpt[x]);
    for(int i=G[x];i;i=E[i].nx)
        if(E[i].t!=f) dfs(E[i].t,x);
}
inline int C(int x,int y){
    if(!x && !y) return 1;
    if(!(x&1) && (y&1)) return 0;
    return C(x/2,y/2);
}

ll f[N],g[N];

void PutAns(ll x){
    if(x>=10) PutAns(x/10); putchar(x%10+'0');
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1,x,y;i<n;i++)
        scanf("%d%d",&x,&y),addedge(x+1,y+1);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
    dfs(1,0);
    int NN=1; while(NN<imax) NN<<=1; NN--;
    for(int i=1;i<=n;i++) f[dpt[i]-1]^=a[i];
    /*for(int i=0;i<=NN;i++){
        g[i]^=f[0];
        for(int j=NN-i;j;j=(j-1)&(NN-i)) 
            g[i]^=f[j];
    }
    while(m--){
        ll x; scanf("%lld",&x);
        if(x==0) PutAns(a[1]);
        else PutAns(g[(x-1)%(NN+1)]); putchar('\n');
    }*/

    for(int i=0;i<=17;i++)
        for(int j=0;j<=NN;j++)
            if(~j>>i&1) f[j|(1<<i)]^=f[j];
    while(m--){
        ll x; scanf("%lld",&x);
        if(x==0) PutAns(a[1]);
        else PutAns(f[NN-(x-1)%(NN+1)]); putchar('\n');
    }
}