库默尔定理学习小记

A组又出现了逆天的数竞定理，随便口胡一下。

定理：

有两个正整数n,m，p是质数，$C_{n +m}^n$含ｐ的幂次等于ｍ＋ｎ在ｐ进制下的进位数。

简略证明：

$C_{n +m}^n$含ｐ的幂次
$= \sum_{i = 1}^{∞}{\lfloor {n +m\over p^i}\rfloor} - \sum_{i = 1}^{∞}{\lfloor {n \over p^i}\rfloor} - \sum_{i = 1}^{∞}{\lfloor {m\over p^i}\rfloor}$
$= \sum_{i = 1}^{∞}{\lfloor {n +m\over p^i}\rfloor} - {\lfloor {n \over p^i}\rfloor} - {\lfloor {m\over p^i}\rfloor}$
这个把组合数的计算公式套一下就好了。
然后你就发现当i确定时，${\lfloor {n +m\over p^i}\rfloor} - \sum_{i = 1}^{∞}{\lfloor {n \over p^i}\rfloor} - \sum_{i = 1}^{∞}{\lfloor {ｍ\over p^i}\rfloor}$要么是1，要么是0。
那么什么时候是1呢？把n+m、n、m转换成p进制看，除以了$p^i$,相当于去掉了后i位
如果说i+1位要进位，那显然${\lfloor {n +m\over p^i}\rfloor} - \sum_{i = 1}^{∞}{\lfloor {n \over p^i}\rfloor} - \sum_{i = 1}^{∞}{\lfloor {ｍ\over p^i}\rfloor}$ = 1，证明完成。