数列特征方程

已知通项公式求递推式

对于$f_n=c1*x^n+c2*y^n$这种通项公式
构造以x，y为解的一元二次方程
然后把这个特征方程$x^2=px+q$转成递归式$a_n=p*a_{n-1}+q*a_{n-2}$就可以了
举个例子
斐波那契数列的通项公式

$$a_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[(\frac{1+\sqrt5}{2})^n-(\frac{1-\sqrt5}{2})^n\right]$$
我们构造以$x_1 = \frac{1+\sqrt5}{2}$和$x_2=\frac{1-\sqrt5}{2}$为解得一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$
$x_1+x_2 = 1 \ \ \ \ x_1x_2 = -1$
根据韦达定理 $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\ \ \\ x_1x_2 = \frac{c}{a}$$
我们可以令$a=1,则b = -1, c = -1，得到特征方程x^2 = x + 1$
得到递推式为$f_n = f_{n-1} + f_{n-2}$

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已知递推式求通项公式

和以上情况相反,对于数列的递推式$a_{n+2} = c_1 a_{n+1}+ c_2 a_{n}$
我们可以构造特征方程 $x^2 = c_1x+c2$
然后解方程可以得到两个解$x_1,x_2$ 就可以得到通项公式$a_n = p {x_1}^n + q {x_2}^n$代入$a_1,a_2$即可解得p,q
举个例子
斐波那契数列的递推式为$f_n = f_{n-1} + f_{n-2}$
得到特征方程$x^2 = x + 1$
解得

$$x_1 = \frac{1+\sqrt5}{2}\ \ \ \ x_2=\frac{1-\sqrt5}{2}$$
则通项公式为 $$a_n = p (\frac{1+\sqrt5}{2})^n + q (\frac{1-\sqrt5}{2})^n$$
代入 $a_1 = 1,a_2 = 1$,可以解得$p = \frac{1}{\sqrt5},q = -\frac{1}{\sqrt5}$
得到通项公式 $$a_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[(\frac{1+\sqrt5}{2})^n-(\frac{1-\sqrt5}{2})^n\right]$$