51nod 1769 Clarke and math2

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#信息学 #数论

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本文探讨了一种涉及数论和组合数学的问题解决方案，通过定义一个特定的数学模型，利用积性函数、Lucas定理等技巧求解复杂组合序列问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意:

他突然想算这么一个式子，给出 f(i),1≤i≤n ，要求算
g(i)=∑i1∣i∑i2∣i1∑i3∣i2⋯∑ik∣ik−1f(ik) mod 1000000007 (1≤i≤n,ij∈N+)

题解:

设c(i)为i经过k轮变换后为1的方案数。
那么显然可以这样求g(i*j) += f(i) * c(j) (1 <= j <= $\lfloor n / i \rfloor$ ).
由c(i)的性质很容易想到它是一个积性函数，那么我们就可以线筛它了。
若 $i = \prod{p_{k}^{q_{k}}}$
$c(i) = \prod{c(p_{k}^{q_{k}})}$

所以现在要求 $c(p^q)$
我们可以用挡板问题的思想来快速求 $c(p^q)$ 。
等价于有q+1个球，有一个必须单独放一个箱子里，其余的放进k-1个箱子，每个箱子不一定要放球。
则 $c(p^q) = C_{q +k + 1}^{q}$

k辣么大，怎么办？
Lucas定理：
$= C_{m ~mod~ p}^{n ~mod~ p} * C_{\lfloor m / p \rfloor}^{\lfloor n / p \rfloor}$ (mod p)

此题当中套公式可得：
$c(p^q) = C_{(q +k + 1)~ mod ~p}^{q}$

于是此题解决。

Code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
#define fo(i, x, y) for(ll i = x; i <= y; i ++)
using namespace std;

const ll mo = 1e9 + 7;

const ll Maxn = 500005;
char ch[1000005];
ll fac[35], nf[35];
bool bz[Maxn]; ll p[Maxn], c[Maxn], d[Maxn], z[Maxn];
ll n, m, f[Maxn], s[Maxn];

ll ksm(ll x, ll y) {
    ll s = 1;
    while(y) {
        if(y & 1) s = (s * x) % mo;
        x = (x * x) % mo; y /= 2;
    }
    return s;
}

ll C(ll n, ll m) {
    ll s = 1;
    fo(i, n - m + 1, n) s = (s * i) % mo;
    return s * nf[m] % mo;
}

int main() {
    fac[0] = 1; fo(i, 1, 30) fac[i] = (fac[i - 1] * i) % mo;
    fo(i, 0, 30) nf[i] = ksm(fac[i], mo - 2);
    scanf("%lld", &n);
    scanf("%s", ch + 1);
    ll lc = strlen(ch + 1);
    ll yu = 0;
    fo(i, 1, lc) {
        yu = yu * 10 + ch[i] - 48;
        yu %= mo;
    }
    fo(i, 1, n) scanf("%lld", &f[i]);
    c[1] = 1;
    fo(i, 2, n) {
        if(!bz[i]) p[++ p[0]] = i, c[i] = C(yu, 1), d[i] = i, z[i] = 1;
        fo(j, 1, p[0]) {
            ll k = i * p[j];
            if(k > n) break;
            bz[k] = 1;
            if(i % p[j] == 0) {
                z[k] = z[i] + 1;
                d[k] = d[i] * p[j];
                c[k] = c[k / d[k]] * C(yu + z[k] - 1, z[k]) % mo;
                break;
            }
            z[k] = 1;
            d[k] = p[j];
            c[k] = c[i] * c[p[j]] % mo;
        }
    }
    fo(i, 1, n) fo(j, 1, n / i) s[i * j] = (s[i * j] + f[i] * c[j]) % mo;
    fo(i, 1, n) printf("%lld ", s[i]);
}