51nod 1244 莫比乌斯函数之和

最新推荐文章于 2022-08-04 15:45:08 发布

Cold_Chair

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分类专栏： 51nod 筛分块文章标签：信息学杜教筛例题

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本文介绍了一道关于杜教筛算法的应用题目，该算法用于高效计算莫比乌斯函数的前缀和。通过分块技术和预处理方法，可以将时间复杂度降低到O(n^(2/3))。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述：

求 $\sum_{i = a}^b μ(i)$
1<=a<=b<=10^10

题解：

杜教筛的裸题。
设s(n) = $\sum_{i=1}^n μ(i)$

我们在学莫比乌斯反演的时候曾经证明过：
$\sum_{i | n} μ(i)$ = (n = 1)

$\sum_{i=1}^n \sum_{j | i} μ(i)$ = 1
$\sum_{i=1}^n \sum_{j = 1}^{n/i} μ(i)$ = 1

$\sum_{i=1}^n s(n/i)$ = 1
s(n) = 1 - $\sum_{i=2}^n s(n/i)$

套用分块求这个。

如果直接hash，时间复杂度是O( $n^{3/4}$ )

如果预处理了 $n^{2/3}$ 内的s，复杂度就降为O( $n^{2/3}$ )

Code:

#include<cstdio>
#define ll long long
#define fo(i, x, y) for(int i = x; i <= y; i ++)
using namespace std;

const int Maxn = 21544346, m = 3491279;
bool bb, bz[Maxn + 1];
short int mu[Maxn + 1];
int p[1362202];
ll n, n2, h[m], f[m];

int hash(ll x) {
    int y = x % m;
    while(h[y] != 0 && h[y] != x) y = (y + 1) % m;
    if(h[y] == x) bb = 1;
    h[y] = x; return y;
}

void Build() {
    mu[1] = 1;
    fo(i, 2, Maxn) {
        if(!bz[i]) p[++ p[0]]= i, mu[i] = -1;
        fo(j, 1, p[0]) {
            if(i * p[j] > Maxn) break;
            int k = i * p[j]; bz[k] = 1;
            if(i % p[j] == 0) {
                mu[k] = 0; break;
            }
            mu[k] = - mu[i];
        }
        mu[i] += mu[i - 1];
    }
}

ll dg(ll x) {
    if(x <= Maxn) return mu[x];
    bb = 0;
    int w = hash(x);
    if(bb) return f[w];
    ll ans = 1;
    for(ll i = 2; i <= x; i ++) {
        ll j = x / (x / i);
        ans -= dg(x / i) * (j - i + 1);
        i = j;
    }
    f[w] = ans;
    return ans;
}

int main() {
    Build();
    scanf("%lld %lld", &n, &n2);
    printf("%lld", dg(n2) - dg(n - 1));
}