本文介绍了递推法和递归法两种算法。递推法核心是找递推关系式，将复杂计算简化；递归法通过调用自身函数，利用分治策略解决问题。还结合斐波那契数列、数字三角形等蓝桥杯真题，讲解两种算法的应用，包括解题思路、代码实现及优化方法。
递归是用来做dfs，是搜索算法的基础
递推是用来做dp部分，及部分其他算法，复杂度较低，不会出现爆栈问题
递推法：
递推法是一种在数学和其他领域广泛应用的重要方法，它在计算机科学中被用作一种关键的数值求解算法。
递推算法的特点
递推法的核心在于找到递推关系式。这种方法可以将复杂的计算过程转化为简单的重复步骤，充分利用计算机在运行程序时的时间局部性和空间局部性。
递推算法的思想：
- 首先找到各个相邻数据项之间的递推关系；
- 递推关系避开了求通项公式的麻烦，尤其是对于那些难以或无法求解通项公式的题目；
- 将复杂问题分解为若干步骤的简单运算；
- 一般来说，递推算法可以视为一种特殊的迭代算法。
递推算法解题的基本思路：
- 将复杂计算转换为简单重复运算；
- 通过找到递推关系式进行简化运算；
- 利用计算机的特性，减少运行时间。
递推算法的一般步骤：
- 根据题目确定数据项，并找到符合要求的递推关系式；
- 根据递推关系式设计递推程序；
- 根据题目找到递推的终点；
- 单次查询可以不进行存储，多次查询都要进行存储；
- 按要求输出答案即可。
递归法
递归算法：
递归算法是一种自顶向下的算法，它通过不断地直接或间接调用自身的函数，通过每次改变变量完成多个过程的重复计算，直到到达边界之后，结束调用。
与递推法相似的是，递归与递推都是将一个复杂过程分解为几个简单重复步骤进行计算。
递归算法的实现的核心是分治策略，即分而治之，将复杂过程分解为规模较小的同类问题，通过解决若干个小问题，进而解决整个复杂问题。
递归算法的思想：
- 将复杂计算过程转换为简单重复子过程；
- 找到递归公式，即能够将大问题转化为小问题的公式；
- 自上而下计算，在返回完成递归过程。
递归算法设计的一般步骤：
- 根据题目设计递归函数中的运算部分；
- 根据题目找到递归公式，题目可能会隐含给出，也可能需要自己进行推导；
- 找到递归出口，即递归的终止条件。
递归法和递推法的思路已经给大家讲解得差不多了，接下来我们将结合真实的大赛题目进行讲解。这将有助于我们更好地理解和应用这两种方法。
1. 斐波纳契数列 fibonacci 问题
在一定情况下，同一个问题可以使用用递归也可以使用递推解答。一般一个问题的递推关系和递归关系都好求的话就都可以解题。
当然如果题目只有一个关系好求，那就最好采用关系好求的办法。
题目描述:
斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、…
在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N^*）
请求出该数列中第n个数字（n从1开始计数）是多少。
样例:
输入样例
样例1输入
6
样例2输入
4
输出样例
样例1输出
8
样例2输出
3
对于上面的样例我们进行了如下计算；
[0]=0
[1]=1
[2]=0+1
[3]=1+1=2
[4]=1+2=3
[5]=2+3=5
[6]=5+3=8
运行限制:
1. 最大运行时间：1s
2. 最大运行内存：128M
题目解析：
- 这个题给出递推式 F(n) = F(n-1) + F(n-2)
- 转化为可用的递推关系，即F(n) + F(n+1) = F(n+2)
这一通过从n=1开始循环即可完成递推，当然也可以使用递归法。
首先我们写找出递归式，F(n)= F(n-1) + F(n-2)
F(n)= F(n-1) + F(n-2)
= F(n-2)+F(n-3)+F(n-3)+F(n-4)
//重复调用
这样我们找到了递归式，然后我们应该找到递归出口。
我们可以知道 F(n)=0 n=0 ,F(n)=1 n=1这就是递归出口，能让递归停止的条件。
递归算法的通用框架如下：
do(a,b,c...)
{
//递归终止条件，即出口
if(a==? ,b==? ,....) return
//递归条件
if(条件1)
do(参数1)
else(条件2)
do(参数2)
}
如本题，各子式间存在计算关系，可以化为：
do(a)
{
if(a==0) return 0;
if(a==1) return 1;
return do(a-1)+do(a-2);
}
这道题不是多次询问问题，不需要存储直接计算的复杂度是最低的。
答案解析
C++ 代码：
- 递推算法代码
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int n; //第几个数
int x=0; //F(n)
int y=1; //F(n+1)
int ans; //F(n+2）
cin>>n;
if(n==0) ans=0;
else if(n==1) ans=1;
else {
for(int i=2;i<=n;i++)
{
ans=x+y;
x=y;
y=ans;
}
}
cout<<ans<<endl;
}
- 递归算法代码
#include <iostream>
using namespace std;
int fn(int n)
{
//递归出口1
if(n==0)
return 0;
//递归出口2
else if(n==1 )
return 1;
else
return fn(n-1)+fn(n-2); //递归关系式
}
int main()
{
int n; //第几个数
int ans;
cin>>n;
ans=fn(n);
cout<<ans<<endl;
}
改进：记忆化
递归过程中做了重复工作，例如fib(3)计算了两次，其实只算1次就够了
为避免递归时重复计算，可以在子问题得到解决时，就保存结果，再次需要这个结果时，直接返回保存的结果就行了，不继续递归下去
这种存储已经解决的子问题结果的技术称为记忆化
记忆化是递归的常用优化技术
动态规划也常常使用递归写代码，记忆化也是动态规划的关键技术
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int cnt = 0; //统计执行了多少次递归
int data[25]; //存储斐波那契数
int fib (int n)
{
cnt++;
if (data[n] != 0) //记忆化搜索，已经算过，不用再算，直接返回结果
return data[n];
if (n == 1 || n == 2)
{
data[n] = 1;
return data[n];
}
data[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2); //继续递归
return data[n];
}
int main()
{
cout << fib(20); //计算递20个斐波那契数
cout << " cnt=" << cnt; //递归了cnt = 37次
}
存储型的递推与递归
我们在开始就讲过题目十分存储和非存储的，上面那个题目就是此询问，如果改为多次询问我们该怎么办，我们会采用存储的方式，存储的方式适用于大部分的的多次查询问题。
我们看一下修改后的题目。
题目描述：
斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……
在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）
我们将进行M次查询，每次输入一个N，其中n小于30。
请求出该数列中第n个数字（n从1开始计数）是多少?
样例:
输入样例
样例1输入：
6
4
2
7
8
8
10
样例2输入：
8
13
23
14
17
24
16
10
11
输出样例
样例1输出：
3
1
13
21
21
55
样例2输出：
233
28657
377
1597
46368
987
55
89
运行限制:
1. 最大运行时间：1s
2. 最大运行内存：128M
题目解析：
这道题跟上面一道题的算法原理相同，只是增加了多次查询的复杂度，所以仅需修改这一点即可。
再有的是有的同学担心自己的输入输出是在一个屏幕上的，评测的时候会不会出现问题。
类似这样的情况，这一点是不用担心的，只要不是交互题，评测机的输入与输出是分开的，只有你的输出会用来跟答案比较，所以我们只用关心我们的输出即可。
比如有一道题让你计算 x+y 的值，如果你知道每答案，就可以直接输出，都不用进行读入。
然后我们来看一下需要多次询问的题目该怎么解决。
答案解析
C++ 代码：
递推算法代码
#include <iostream>
using namespace std;
int F[35];
void init()
{
F[0]=0;
F[1]=1;
for(int i=2;i<=30;i++)
{
F[i]=F[i-1]+F[i-2];
}
}
int main()
{
int m; //m次查询
int n; //第几个数
init();
cin>>m;
while(m>0)
{
m-=1;
cin>>n;
cout<<F[n]<<endl;
}
}
存储答案的递推法，才是最常使用的递推法。
递归算法代码
#include <iostream>
using namespace std;
int F[35];
int fn(int n)
{
//递归出口1
if(n==0)
{
F[0]=0;
return 0;
}
//递归出口2
else if(n==1 )
{
F[1]=1;
return 1;
}
else
{
F[n]=fn(n-1)+fn(n-2);
return F[n]; //递归关系式
}
}
int main()
{
int m; //m次查询
int n; //第几个数
fn(30);
cin>>m;
while(m>0){
m-=1;
cin>>n;
cout<<F[n]<<endl;
}
}
数字三角形问题
题目描述:
如图数字三角形。如下所示为一个数字三角形。请编一个程序计算从顶到底的某处的一条路径，使该路径所经过的数字总和最大。只要求输出总和。
- 一步可沿左斜线向下或右斜线向下走；
- 三角形行数小于等于 100；
- 三角形中的数字为 0，1，…，99；
测试数据通过键盘逐行输入。
如上例数据应以样例所示格式输入：
样例:
输入：
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
输出：
30
运行限制:
1. 最大运行时间：1s
2. 最大运行内存：128M
题目分析:
N=100，
S=(1+100)∗100=104(1+100)*100=10^4(1+100)∗100=104
量级是10410^4104，每个数都是0-99
最后是10610^6106，用暴力也能做出来
解决该题目的方式有很多，包括动态规划， 枚举都可以解决这个问题。
我们从递推的思想出发，假设我们从顶层沿着某条路径已经走到了第 i 层，正向着 i+1 层前进， 两条可行路径中我们肯定会选择最大的方向前进，
为此我们可以采用递推中的反向递推，即逆推的方式解决，设 a[i][j]a[i][j]a[i][j]存放从 i,ji,ji,j 出发到达第 nnn 层的最大值。
我们可以写出递推式：
a[i][j] = max{a[i][j]+a[i+1][j]，a[i][j]+a[i+1][j+1]}
则 逆推到出发点 a[1][1]a[1][1]a[1][1]为题目所求答案，即第一层到第NNN层的最大值。
递推一层由
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
逆推第一层
7
3 8
8 1 0
7 12 10 10
第二层
7
3 8
20 13 10
第三层
7
23 21
第四层
30
递推的每次计算是O(1)O(1)O(1)，iii是层数，jjj是iii层的这几个
C++ 代码：
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int n; //n层
int a[101][101]; //路径矩阵
cin>>n;
//输入数字三角形的值
for (int i=1; i<=n; i++)
{
for (int j=1; j<=i; j++)
{
cin>>a[i][j]; //输入原始数据
}
}
//递推开始
for (int i=n-1; i>=1; i--)//从最后一层逆推
{
for (int j=1; j<=i; j++)
{
if (a[i+1][j]>=a[i+1][j+1])
a[i][j]+=a[i+1][j]; //路径选择
else
a[i][j]+=a[i+1][j+1];
}
}
cout<<a[1][1]<<endl;
}
递推法的推广
42点问题
题目描述
众所周知在扑克牌中，有一个老掉牙的游戏叫做 24 点:选取4 张牌进行加减乘除，看是否能得出 24 这个答案。
现在小蓝同学发明了一个新游戏，他从扑克牌中依次抽出6张牌(注意不是一次抽出)，进行计算，看是否能够组成 42 点,满足输出 YES，反之输出 NO。
最先抽出来的牌作为第一个操作数，再抽出牌做第二个操作数，运算结果再当作第一个操作数，继续进行操作。除不尽的情况保留整数。
请你设计一个程序对该问题进行解答。
输入描述
输出仅一行包含 6 个字符。
保证字符∈3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A 2。
输出描述
若给出到字符能够组成 42 点,满足输出 YES，反之输出 NO。
题目解析
不是一次抽出，可以重复，有放回事件
数据输入
for (int i = 0; i < 6; i++)
{
char c;
cin >> c;
if (c == 'A')
a[i] = 1;
else if (c == 'J')
a[i] = 11;
else if (c == 'Q')
a[i] = 12;
else if (c == 'K')
a[i] = 13;
else
a[i] = (c - '0');
}
怎么枚举5次运算
共计4∗4∗4∗4∗4=10244*4*4*4*4=10244∗4∗4∗4∗4=1024种情况
创建5个vector，分别用来存放1-5次的运算结果
vector <int> ans[10];
ans[0].push_back(a[0]);
for (int i = 1; i <= 5; i++)
{
for (int j = 0; j < ans[i-1].size(); j++)
{
ans[i].push_back(ans[i-1][j]+a[i]);
ans[i].push_back(ans[i-1][j]-a[i]);
ans[i].push_back(ans[i-1][j]*a[i]);
ans[i].push_back(ans[i-1][j]/a[i]);
}
}
判断
int flag = 0;
for (int i = 0; i < ans[5].size(); i++)
{
if (ans[5][i] == 42)
{
flag = 1;
break;
}
}
if (flag == 1)
cout << "YES" << endl;
else
cout << "NO" << endl;
数的计算
题目描述
我们要求找出具有下列性质数的个数(包含输入的自然数 n):
先输入一个自然数 n(n≤1000)n(n \le 1000)n(n≤1000)，然后对此自然数按照如下方法进行处理:
- 不作任何处理:
- 在它的左边加上一个自然数,但该自然数不能超过原数的一半:
- 加上数后,继续按此规则进行处理,直到不能再加自然数为止。
例:n=6，合法的数字有:6(不做任何处理)、16、26、36、126、136
题目解析
第一层递归，枚举a=1,2,…,n2a=1,2,\dots,{\frac{n}{2}}a=1,2,…,2n
第二层递归，枚举b=1,2,…,a2b=1,2,\dots,{\frac{a}{2}}b=1,2,…,2a
第三层递归，枚举c=1,2,…,b2c=1,2,\dots,{\frac{b}{2}}c=1,2,…,2b
…
最后一层，等于1，返回
6
6/2=3 构造出 16 26 36
再根据16，a=1 构造不出来了，1/2=0
再根据26，a=2 构造2/2=1，构造出126
再根据126，1/2=0，构造不出来了
再根据36，构造3/2=1，构造出136
136不能再产出新数字
void f (int n)
{
if (n == 1)
return; //如果n = 1，满足条件的数的个数是1
for (int i = 1; i <= n/2; i++) //枚举左边加的数
{
res++; //新得到一个数，满足条件的数的个数+1
f(i); //递归
}
}
按照题目意思，我们可以直接枚举左边加的数。
定义递归函数 f(n)表示输入数为 n 时满足题目条件的数的个数。
我们可以从最简单的情况开始考虑。当n =1时，只有一个数，满足条件的数的个数是 1。
如果 n > 1，那么我们需要枚举左边加的数。因为最左边的数不能为 0，所以左边加上的数的取值范围是[1,n/2][1,{n/2}][1,n/2]
对于每一个加数i，得到的新数是n+i，我们需要递归调用 f(n +i)，计算得到新数下满足条件的数的个数。
在递归调用结束后，我们需要将所有加数得到的满足条件的数的个数相加，得到最终的结果。
最后，输出 f(n)即可。
N=1时，1/2=0，无法进行构造，就只有一个解
N=2时，2/2=1，恰好构造出了12和本身2
N=3时，3/2=1，恰好构造出了13和本身3
N=4时，4/2=2，能够构造出14 24 124 4
如果写成函数
f(4) = f(4/2=2)+f(2/2=1)+1 //124 24 / 14 / 4
f(5) = f(5/2=2)+f(2/2=1)+1 //125 25 / 15 / 5
...
f(n) = f(n/2)+f(n/2/2)+...+f(1)+1
递归式：
F(n):
用i=(1-n/2)构造;
对于每个生成的新的i，再次调用f(i)
每构造一次就+1
代码
#include <iostream>
using namespace std;
int f[1000];
int main()
{
int n;
scanf("%d", n);
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= i/2; j++)
{
f[i] = f[i] + f[j];
}
f[i] = f[i] + 1;
}
return 0;
}
数的划分
题目描述
将整数 n 分成k份，且每份不能为空，任意两份不能相同(不考虑顺序)。
例如:n=7，k=3，下面三种分法被认为是相同的。
1，1，5;
1，5，1;
5，1，1;
问有多少种不同的分法。
输入描述
输入一行，2 个整数 n,k (6 ≤n≤ 200，2 ≤k≤ 6)。
输出描述
输出一个整数，即不同的分法
题目解析
计数dp，分治思想
7
4，2，1
定义递归函数f(n,m)f(n,m)f(n,m)为将整数 n 拆分成 m 个数字的方案数。
对于每个情况，我们可以将它分成两种情况，且这两种情况是不重不漏的。
- 不选1的情况
如果不选择 1，我们将 n 拆分成 m 块，可以等价于将每一块都减去 1，然后再将剩下的数拆分成m块，即f(n−m,m)f(n-m,m)f(n−m,m)。 - 选1的情况:
这种情况下，其中一块肯定有一个 1，然后对几-1拆分成 m-1块，即 f(n−1,m−1)f(n-1,m-1)f(n−1,m−1)。
此时，f(n,m)f(n,m)f(n,m)的值就是这两种情况之和，即
f(n,m)=f(n−m,m)+f(n−1,m−1) f(n,m)=f(n-m,m)+f(n-1,m-1) f(n,m)=f(n−m,m)+f(n−1,m−1)
对于样例7分3份:
- 不选1，那就先每份给个1
111剩下了4，由于不选1，所以每组还得再分至少一个，所以就变成f(n−m，m)f(n-m，m)f(n−m，m)，即7−3=47-3=47−3=4分成3份f(4,3)f(4,3)f(4,3)
对于f(4,3)f(4,3)f(4,3)在考虑递归过程，同样分两种情况- f(4,3)=f(4−3,3)+f(4−1,3−1)f(4,3)=f(4-3,3)+f(4-1,3-1)f(4,3)=f(4−3,3)+f(4−1,3−1)
- f(1,3)不合理，所以没有这种可能返回0
- f(3,2)=f(3−2,2)+f(3−1,2−1)f(3,2)=f(3-2,2)+f(3-1,2-1)f(3,2)=f(3−2,2)+f(3−1,2−1)
- f(1,2)f(1,2)f(1,2)不合理返回0
- f(2,1)f(2,1)f(2,1)两个数分成1堆，只有一种办法返回1
- f(4,3)=f(4−3,3)+f(4−1,3−1)f(4,3)=f(4-3,3)+f(4-1,3-1)f(4,3)=f(4−3,3)+f(4−1,3−1)
- 选1的情况，有且只能有1个1，所以1那个位置就不再改变，我们就去考虑剩下的7-1个数，分成3-1份,那就变成了f(n−1,m−1)f(n-1,m-1)f(n−1,m−1)即 f(6,2)f(6,2)f(6,2)
对于f(6,2)f(6,2)f(6,2)使用同样的递归过程继续执行
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f(int n, int m)
{
if (n == 0 || m == 0 || n < m)
{
return 0;
}
if (m == 1 || n == m)
{
return 1;
}
else
{
return f (n - m, m) + f(n - 1, m - 1);
}
}
int main()
{
int n, k;
cin >> n >> k;
cout << f (n, k) << "\n";
return 0;
}
过多分支的一种处理思路
题目描述
古代中国使用天干地支来记录当前的年份。
天千一共有十个，分别为:甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、王、癸 。地支一共有十二个，分别为:子、丑、寅、卯、辰、日、午、未、申、酉、戌、亥将天干和地支连起来，就组成了一个天干地支的年份，例如:甲子。
2020 年是庚子年。
每过一年，天干和地支都会移动到下一个。例如2021年是辛丑年。
每过 60年，天千会循环6轮，地支会循环5轮，所以天干地支纪年每 60年轮回一次。例如 1900年，1960年，2020年都是庚子年给定一个公元纪年的年份，请输出这一年的天干地支年份。
输入描述
输入一行包含一个正整数，表示公元年份。
其中有 ，输入的公元年份为不超过9999的正整数。
输出描述
输入一行包含一个正整数，表示公元年份。
这个题目是模拟法中最讨厌也最常见的一种，可能还有比这更复杂的，但这道题，已经初具代表性
他的种类比较多，天干就有10种，地支有12种
现在我们知道了 2020年是庚子年，我们这里既可以是除留余数来判断N年是什么天干和什么地支，我们也可以直接暴力使用循环做，这样的话9999的复杂度也跑不了多久。
实现起来很简单，我们讲这个比较难的。
我们先判断0000年的天干和地支
根据题意8000年距2020年了2020年。
已知天干有10个，那么2020%10=0剩下的都是整个轮回，即到了0000年是庚X年，即天干是庚，
再按照这个方法算地支是2020%12=4及还要向前推四年地支为申。
即 0000 为申年，那么根据模拟法可知。
string tg(int n)
{
n = n%10;
if (n == 0)
return "geng";
}
string dz(int n)
{
...
}
string tg[10] = {"geng"."xin","ren","gui","jia","yi","bing","ding","wu","ji"};
string dz[12] = {"shen","you","xu","hai","zi","chou","yin","mou","chen","si","wu","wei"};
int main()
{
int year;
cin >> year;
cout << tg[year%10] << dz[year%12] << endl;
}
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