埃及分数

codeboy7

于 2020-11-21 14:11:36 发布

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分类专栏：题解文章标签：剪枝算法 dfs c++

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/CoderZeng/article/details/109894985

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本文介绍了古埃及分数的表示方法，强调了在寻找最优表示时，加数少且最小分数大的原则。通过举例展示了如何确定分数的最佳组合。并提出了一个编程问题，要求计算单位分数之和的最优解，其中最小分数大于等于10^7。为了解决这个问题，提出了迭代加深的搜索策略，结合深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS），同时引入剪枝策略以限制枚举范围，确保在大数据情况下也能有效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

在古埃及，人们使用单位分数的和（形如 $\frac{1}{a}$ 的， $a$ 是自然数）表示一切有理数。
如： $\frac{2}{3}=\frac{1}{2} + \frac{1}{6}$ ，但不允许 $\frac{2}{3}=\frac{1}{3} + \frac{1}{3}$ ，因为加数中有相同的。
对于一个分数 $\frac{a}{b}$ ，表示方法有很多种，但是哪种是最好的呢？

首先，加数少的比加数多的好，其次，加数个数相同的，最小的分数越大越好。

如:
$\frac{19}{45}=\frac{1}{3}+\frac{1}{12}+\frac{1}{180}$ 。
$\frac{19}{45}=\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{45}$ 。
$\frac{19}{45}=\frac{1}{3}+\frac{1}{18}+\frac{1}{30}$ 。
$\frac{19}{45}=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{180}$ 。
$\frac{19}{45}=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{18}$ 。

最好的是最后一种，因为 $\frac{1}{18}$ 比 $\frac{1}{180}$ ， $\frac{1}{45}$ ， $\frac{1}{30}$ ， $\frac{1}{180}$ 都大。

注意，可能有多个最优解。

如：
$\frac{59}{211} = \frac{1}{4} + \frac{1}{36} + \frac{1}{633} + \frac{1}{3798}$ 。

$\frac{59}{211} = \frac{1}{6} + \frac{1}{9} + \frac{1}{633} + \frac{1}{3798}$ 。

由于方法一与方法二中，最小的分数相同，因此二者均是最优解。

给出 $a, b$ ，编程计算最好的表达方式。保证最优解满足：最小的分数 $\geq \frac{1}{10^7}$

输入格式

一行两个整数，分别为a和b的值

输出格式

输出若干个数，自小到大排列，依次是单位分数的字母。

数据范围

$0 < a < b < 1000$

输入样例：

19 45

输出样例：

5 6 18

做法：

迭代加深

迭代加深就是一种深搜和广搜的结合，有些题目写的时候有些状态会一直往下做而超时，所以我们可以设定一个深度，做到这个深度就返回，如果找不到答案就继续做。

就像这样：
在这里插入图片描述
没找到答案，继续找
D1FD3t.md.png
找到了答案就停止，并输出答案
这种方法就是DFS的空间，BFS的时间就可以把答案算出来了。

然后在搜索里面从小到大枚举字母字母的数值，
但是需要满足两个条件：

要保证枚举出来的从小到大
最大的字母越小越好
但是 $a$ 和 $b$ 都是 $> 1000$ 的

所以要加个剪枝来减小枚举分母的范围，如果要分解 $\frac{a}{b}$ ，还剩x个数
则最大的分母不会超过ceil( $\frac{bx}{a}$ )

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
#define LL long long
#define MAXN 1005
int maxd;
int ans[MAXN], tmp[MAXN];
bool cmp(int d)
{
    for(int i = d; i >= 0; i--)
        if(ans[i] != tmp[i])
            return (ans[i] == 0 || tmp[i] < ans[i]) && (tmp[i] > 0);
    return false;
}
LL gcd(LL a, LL b)
{
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
bool dfs(int d, LL last, LL a, LL b)
{
    if(d == maxd)
    {
        if(b % a)
            return false;
        tmp[d] = b / a;
        if(cmp(d))
            memcpy(ans, tmp, sizeof(ans));
        return true;
    }
    bool flag = false;
    last = max(last, b / a + 1);
    for(int i = last; ;i++)
    {
        if(b * (maxd + 1 - d) <= i * a)   //剪枝
            break;
        tmp[d] = i;
        LL a1 = a * i - b, b1 = b * i;
        LL t = gcd(a1, b1);
        if(dfs(d + 1, i + 1, a1 / t, b1 / t))
            flag = true;
    }
    return flag;
}
int main()
{
    LL a, b;
    scanf("%lld %lld", &a, &b);
    for(maxd = 2; ; maxd++)
        if(dfs(0, (b / a + 1), a, b))
            break;
    for(int i = 0; i <= maxd; i++)
        printf("%d ", ans[i]);
    return 0;
}