环形最大子段和

最新推荐文章于 2023-07-20 01:18:49 发布

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博客探讨了如何在环形序列中找到连续子段的最大和。通过介绍普通最大子段和的解法，引入动态规划策略，并讨论了将环形序列转化为线性问题的技巧。示例和代码解释帮助理解算法实现。

题目描述

给出一个首尾相连的循环序列，从中找出连续的一段，使得该段中的数和最大。

注意：至少要选一个元素

输入格式

第一行一个整数n，表示有n个数。（1<=n<=100000）

第二行有n个整数，每个数的绝对值不超过100000.

输出格式

输出最大的字段和。

样例

样例输入

4
2 -4 1 4

样例输出

首先，我们先来看看普通的最大字段和是怎么做的：

设 $d p [i]$ 为以 $i$ 为结尾的最大子段和。

所以 $d p [i] = d p [i - 1] + a [i]$ 当且仅当 $d p [i - 1] + a [i] > 0$ 的时候，其他情况就 $d p [i] = a [i]$

·所以代码就这写：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define MAXN 200005
int n;
int a[MAXN];
int dp1[MAXN], dp2[MAXN];
int sum, max1 = INT_MIN, max2 = INT_MIN, Max;
signed main()
{
	int maxx = INT_MIN;
	scanf("%lld", &n);
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		scanf("%lld", &a[i]);
		maxx = max(maxx, a[i]);
	}
	if(n == 0)
	{
		printf("0\n");
		return 0;
	}
	if(maxx <= 0)
	{
		sort(a + 1, a + n + 1);
		Max = a[n] + a[n - 1];
		printf("%d\n", Max);
		return 0;
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		sum += a[i];
		max1 = max(max1,sum);
		if(sum < 0)
			sum = 0;
		dp1[i] = max1;
	}
	sum = 0;
	for(int i = n; i >= 1; i--)
	{
		sum += a[i];
		max2 = max(max2,sum);
		if(sum < 0)
			sum = 0;
		dp2[i] = max2;
	}
	for(int i = 1; i < n; i++)
		Max = max(Max, dp1[i] + dp2[i + 1]);
	printf("%lld", Max);
    return 0;
}

然后我们再来看环形怎么做，我们可以把这个环破成列，就是把这个数组复制一份：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 100005
#define LL long long
LL a[MAXN], b[MAXN];
LL dp1[MAXN], dp2[MAXN];
LL sum = 0, mx = 0, mi = 0;
int main()
{
	LL n;
	scanf("%lld", &n);
	LL dayu0 = -0x3f3f3f3f;
	for(int i = 0; i < n; i++)
	{
		scanf("%lld", &a[i]);
		sum += a[i];
		b[i] = -a[i];
		dayu0 = max(dayu0, a[i]);
	}
	if(dayu0 < 0)
	{
		printf("%lld\n", dayu0);
		return 0;
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		dp1[i] = max(a[i], dp1[i - 1] + a[i]);
		mx = max(mx, dp1[i]);
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		dp2[i] = max(b[i], b[i] + dp2[i - 1]);
		mi = max(mi, dp2[i]);
	}
	LL ans = max(sum + mi, mx);
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}