求组合数

平时在做题的时候经常会用到求组合数，但是一般情况下普通求${\text{C}}_m^n$都会超时，这里介绍四种求组合数的方法：

1. 乘一个除一个

一般情况下求组合数的方法都是乘一个除一个
就比如$C_5^3=\frac{5\times 4\times 3}{3\times 2\times 1}$ 但是我们顺着做除不尽，所以我们把分母反着看:
$C_5^3=\frac{5\times 4\times 3}{1\times 2\times 3}=\frac{5}{1}\times \frac{4}{2}\times \frac{3}{3}=5\times 2\times 1$

这样就能求出一个组合数了。
适用的数据范围：$n⩽100$

2. 杨辉三角

众所周知, 杨辉三角中的$A_{nm}$=$C_m^n$（

所以只需要把杨辉三角求出来就是这样的：

	第0列	第1列	第2列	第3列	第4列	第5列
第0行	1
第1行	1	1
第2行	1	2	1
第3行	1	3	3	1
第4行	1	4	6	4	1
第5行	1	5	10	10	5	1

仔细比对一下，$A_{nm}$是不是等于$C_{nm}$,
所以这时候直接输出$A_{nm}$就行了

3.用逆元大法

但是这种方法有一个限制：模的P必须是质数，比如$1000000007$，因为我们需要用费马小定理求出逆元。
具体就这么写

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long int
#define MOD 1000000007
#define MAXN 20000005
LL fac[MAXN], rec[MAXN];
LL qpow(LL a, LL b)
{
	LL res = 1;
	while(b)
	{
		if(b & 1)
			res = res * a % MOD;
		a = a * a % MOD;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}
int main()
{
	int n, m;
	scanf("%d %d", &n, &m);
	fac[0] = 1;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		fac[i] = fac[i - 1] * i;
		fac[i] %= MOD;
	}
	rec[n] = qpow(fac[n], MOD - 2);
	for(int i = n - 1; i >= 1; i--)
		rec[i] = rec[i + 1] * ((i + 1) % MOD) % MOD;
	cout << (((fac[n] * rec[m]) % MOD) * rec[n - m]) % MOD; 
	return 0;
}

完结撒花