高数第一章函数笔记（原稿手写+AI识别优化）

关注

原创最新推荐文章于 2026-10-24 16:55:19 发布 174 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

【AI智能体】Dify 搭建发票识别助手操作实战详解 Dify 搭建发票识别专属助手操作实战详解阅读详情

前置符号说明
∈ ：属于，代表变量在某个区间里面
例：x∈[1,2] 意思：x在1到2之间，包含1和2
[ a , b ]：闭区间，包含两端数字 a ≤ x ≤ b
( a , b )：开区间，不包含两端数字 a < x < b
∀：任意，所有
∃：存在
⇒：推出，可以得到结论
max{ }：在大括号里面挑选最大值
f⁻¹(x)：反函数标记！不是1/f(x)

高数第一章函数（纯文本版，蓝本：你的手写笔记）

一、核心概念（背诵用）

1. 函数的有界性

前提：有界性必须指定区间讨论，区间一变，有界性结论会改变。(依赖性)
定义：设 y=f(x)，如果存在常数K₁、K₂，对区间内任意x，满足
K₁ ≤ f(x) ≤ K₂
就称函数在这个区间上有界。

上界：大于或等于函数所有取值；上确界：最小的那个上界（min）
下界：小于或等于函数所有取值；下确界：最大的那个下界(max)

等价写法：取 M = max{|K₁|,|K₂|}，写成 -M ≤ f(x) ≤ M（取绝对值最大那个）

✅正例：y=sinx，对全体实数x，-1 ≤ sinx ≤ 1，在全体实数上有界
❌反例：y=lnx，x>0的时候，函数无界；但限定x∈[1,2]，在这个区间上有界。

⚠️易错坑：函数有界，不代表一定能取到上界、下界。
例子：y=x，x在开区间(0,1)，函数有界，但是没有最大值、最小值。

2. 奇偶性

判定两个必要条件：

定义域必须关于原点对称（先决条件！不满足直接非奇非偶）
代入检验：

偶函数：f(-x)=f(x)，图像关于y轴对称
奇函数：f(-x)=-f(x)，图像关于原点对称

✅正例：f(x)=x² 是偶函数；f(x)=x³ 是奇函数
❌反例：f(x)=x+1，定义域是全体实数（对称），但是f(-x)不等于f(x)，也不等于-f(x)，属于非奇非偶。

⚠️易错坑：不要跳过定义域，直接代入式子判断奇偶。

3. 周期性

定义：存在正数常数T，对定义域里任意x，满足x+T也在定义域内，并且
f(x+T)=f(x)
T叫做函数的一个周期；最小的正数T，叫最小正周期
三角函数 y=A sin(ωx+φ)，最小正周期 T=2π/|ω|

✅正例：sinx，周期是2π
❌反例：y=x，找不到任何正数T满足f(x+T)=f(x)，不是周期函数。

⚠️易错坑：周期函数定义域不能是有限区间；加绝对值会改变周期。

4. 反函数

y=f(x) 和 x=f⁻¹(y) 互为反函数。

习惯写法：写成 y=f⁻¹(x)，先化成x=…的形式，然后把x和y相互转化
核心规则：原函数的值域 = 反函数定义域；原函数定义域 = 反函数值域

✅正例：y=2x+1 的反函数 y=(x-1)/2
注意定义域的变化

⚠️易错坑：不是所有函数都有反函数；单调函数才有反函数。
f⁻¹(x) 只是反函数记号，不是1/f(x)！

5. 复合函数

y=f[g(x)]：把内层g(x)整体当成一个变量，代入外层函数f(方框)。
复合之后，新定义域要同时满足：内层式子有意义，并且内层函数的值，落在外层函数定义域里面。

✅正例：f(u)=lnu，u=g(x)=x−1，复合得到 y=ln(x−1)
❌反例：f(u)=lnu，u=−x²，u永远≤0，不在lnu的定义域，无法复合。

⚠️易错坑：复合函数自变量永远是x，不是中间变量u。

二、题型（刷题用｜步骤+例题+坑点）

题型1：求函数定义域（⭐高频基础）

基础规则：

分式：分母不能等于0
二次根号√u：u ≥ 0
对数lnu：u > 0
arcsinu、arccosu：u 在[-1,1]之间

拓展子题型：已知f(x)定义域，求f(x²)、f(x²−1)定义域
解题思路：
已知 f(x) 的定义域：x∈D，求f(方框)，要求方框整体∈D，解x的范围。

例题：f(x)定义域x∈[0,2]，求f(x²)定义域
解：0 ≤ x² ≤ 2，推出 -√2 ≤ x ≤ √2

⚠️易错坑：是方框整体放进D，不是x直接代入D。（整体思想）

题型2：求反函数

步骤：

原式 y=f(x)，变形，用y表达x
x,y互换，写出反函数
标注反函数定义域（就是原函数的值域）

例题：求 y=3x−1 的反函数
解：
y+1=3x ⇒ x=(y+1)/3
互换x,y：y=(x+1)/3，定义域：全体实数
它难在把对数，指数那些混在一起，主要是化简问题

题型3：复合函数（⭐⭐⭐难点，三类考点）

核心：方框替换，整体代入
注意分段函数，坑在分段函数的定义域

考点①：复合函数拆分（选择题）

目标：拆成基本初等函数（幂、指、对、三角、反三角），由外向内拆。
例题：y=e^( sin(1/x) )
四层拆分：
y=e^u
u=sinv
v=1/x
这4个都是，y ,u,v这些都算复合函数

考点②：已知f(x)，求f[g(x)]【代入计算】

步骤：

外层f(方框)，把所有x替换成内层g(x)
化简表达式
求复合后的定义域

例题：已知f(x)=x²+2，求f(2x−1)
解：
f(方框)=方框²+2
f(2x−1)=(2x−1)²+2=4x²−4x+3

考点③：已知复合f[g(x)]，反求f(x)（期末大题）

方法：换元法

令 u=g(x)，用u反过来求到x的表达式
用u改写原式，得到f(u)
字母u换成x

例题：已知f(2x+1)=4x²+4x+3，求f(x)
解：
令 u=2x+1，推出 x=(u−1)/2
f(u)=4*[(u-1)/2]^2 + 4*[(u-1)/2] +3
化简：
f(u)=(u-1)² +2(u-1)+3 = u²+2
f(x)=x²+2

知分段函数
f(t) = { t , t≥0
{ -t , t<0
求复合函数 f(x−1)
说明：f(t) 就是绝对值函数 f(t)=|t|（这里是关键）
解题核心：分段函数复合必须分类讨论，判断内层整体落在外层哪一段，不是直接看x。
解：
外层函数按 t 的范围分段，这里 t = x−1
1、当 x−1 ≥ 0，也就是 x ≥ 1
f(x−1) = x−1
2、当 x−1 ＜ 0，也就是 x ＜ 1
f(x−1) = -(x−1) = -x+1
最终：
f(x−1) = { x−1 , x≥1
{ -x+1 , x＜1
⚠️易错坑
错误做法：直接拿x判断正负
正确做法：判断内层整体（x−1）落在外层函数的区间，分段计算。