[原创](计算机数学)(Introduction Linear Algebra)(P87): ：若A是可逆的上三角矩阵, 则它的逆矩阵A^-1也是上三角矩阵

[作者]
常用网名: 猪头三
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专注研究: 机器学习、股票模型量化、金融分析

[描述]

Example 5: 如果 $A$ 是可逆的上三角矩阵, 则其逆矩阵 $A^{-1}$ 也必为上三角矩阵. 证明从矩阵方程

$$A{A}^{-1}=I$$

出发, 考察每一列的结构即可.

[核心解释]

为了说明 $A^{-1}$ 是上三角矩阵, 只需证明在方程

$$AX=I$$

中, 未知矩阵 $X$ 的每一列向量都在下三行（第 $j+1$ 行至第 $n$ 行）为零. 设第 $j$ 列向量为 $x^{(j)}$, 即

$$A{x}^{(j)}=e^{(j)},j=1,2,\dots ,n,$$

其中 $e^{(j)}$ 是标准基向量, 其第 $j$ 个分量为 1, 其余为 0. 以下分三步详细推论：

1. 列方程的形式
   写出第 $j$ 列的线性方程组：

   $$\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{x}_k^{(j)}=\{\begin{array}{ll}1,& i=j,\\ 0,& i\ne j.\end{array}$$

   由于 $A$ 是上三角矩阵, 对角元 $a_{ii}\ne 0$, 且当 $i>k$ 时 $a_{ik}=0$.

2. 回代求解并保持末尾零
   采用自底向上的回代（back substitution）：

   • 对行索引 $i$ 从 $n$ 递减到 1, 依次求解未知数 $x_i^{(j)}$.

   • 当 $i>j$ 时, 右端为 0, 且方程仅涉及 $x_i^{(j)}$ 与已知的更高序未知量 { x i + 1 ( j ) , … , x n ( j ) } \{x_{i+1}^{(j)},\dots,x_n^{(j)}\} {xi+1(j)​,…,xn(j)​}：

     $$a_{ii}{x}_i^{(j)}+\sum _{k=i+1}^n{a}_{ik}{x}_k^{(j)}=0.$$

     因此可解得

     $$x_i^{(j)}=-\frac{1}{a_{ii}}\sum _{k=i+1}^n{a}_{ik}{x}_k^{(j)}.$$

     但对于初始条件, 所有 $x_k^{(j)}$（$k>i$）在此阶段尚未赋非零值, 故必有

     $$x_i^{(j)}=0,\forall i>j.$$

3. 对角及其以上分量求值

   • 当 $i=j$ 时, 右端为 1, 方程变为

     $$a_{jj}{x}_j^{(j)}+\sum _{k=j+1}^n{a}_{jk}{x}_k^{(j)}=1.$$

     因 { x k ( j ) ∣ k > j } = 0 \{x_{k}^{(j)}\mid k>j\}=0 {xk(j)​∣k>j}=0, 得

     $$x_j^{(j)}=\frac{1}{a_{jj}}\ne 0.$$

   • 对于 $i<j$ 的行, 右端仍为 0, 但此时所有更后行分量 { x i + 1 ( j ) , … , x n ( j ) } \{x_{i+1}^{(j)},\dots,x_n^{(j)}\} {xi+1(j)​,…,xn(j)​} 已知, 其中第 $j$ 行分量非零, 其它高行分量已知, 则依次可解出每个 $x_i^{(j)}$, 不再影响下三行的零结构.

综上, 每个 $x^{(j)}$ 在分量 $j+1,\dots ,n$ 均为零, 故矩阵 $X=[x^{(1)},x^{(2)},\dots ,x^{(n)}]$ 为上三角矩阵, 即

$$A^{-1}=X\text{也是上三角矩阵}.$$

[总结]

通过对方程 $AX=I$ 的列分量逐列回代求解, 证明了可逆的上三角矩阵 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ 保持上三角结构. 此性质在数值代数中至关重要, 保证了用三角分解（如 LU 分解）求解线性方程组时, 矩阵的稀疏性和带状结构不会因取逆而破坏, 从而维持算法的高效与稳定.