《机器视觉》笔记—空间几何变换与摄像机模型

2.1 空间几何变换

本章主要讲解射影变换、仿射变换、比例变换和欧氏变换，以及各种变换的不变量性质。

2.1.1 齐次坐标

• 齐次坐标是由n+1维向量表示一个n维向量，n维空间中，非齐次坐标为(P1,P2…Pn)，是唯一的。齐次坐标为(hP1,hP2…hPn,h)，是不唯一的。
• 齐次坐标的表示方法的优越性：

1. 能够明确地区分向量和点。
   对于一个向量v以及基oabc，向量可以表示为：v = v1a + v2b + v3c，而对于一个点p，我们把点的位置看作是对这个基的原点o所进行的一个位移，即一个向量p – o，使得 p – o = p1a + p2b + p3c ，改写成p = o + p1 a + p2 b + p3 c ，写成矩阵的形式：
   v = (v1 v2 v3 0) X (a b c o)，
   p = (p1 p2 p3 1) X (a b c o),
   这里(a,b,c,o)是坐标基矩阵。这样，向量和点在同一个基下就有了不同的表达：向量的第4个代数分量是0，点的第4个代数分量是1。
   因此，使用齐次坐标可以表示无穷远点，在h=0时表示一个n维的无穷远点。对于二维的齐次坐标[a,b,h]，h=0时表示ax+by=0的直线，即在直线y=-(a/b)x上的连续点(x,y)逐渐趋近与无穷远处。
2. 用齐次坐标表示，可以通过矩阵运算将空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系，即更方便使用矩阵来表示仿射变换(旋转、缩放、平移）。尤其在平移时，如果用非齐次坐标来表示平移，就得用加法，用齐次坐标，可以用乘法来表示平移，在多次平移的时候，乘法更为方便。
   
   

2.1.2 射影变换

• 一维射影变换：过点O的直线束分别交直线L1和L2于四点，对于L1上的一点，总能在L2上找到与其对应的点。L1与L2之间的一个一一对应的变换，称为一维射影变换

• 同时，L2与L3的变换是以O‘为中心的一维射影变换，以上两个射影变换的乘积就表示为L1到L3的变换关系，我们称由有限次中心射影变换的积定义的两条直线的一一对应变换为一维射影变换。
  在n维的射影变换中，用(n+1)维的x和y分别表示变换前后空间点的齐次坐标，Tp为(n+1)(n+1)的变换矩阵，一维射影变换表示为：其中有一比例因子
  
• 在三维射影变换中，射影矩阵表示为：因为有一个非零的比例因子，有15个自由度
  

2.1.3 仿射变换

• 当射影中心平面变为无限远处时，射影变换就称为仿射变换

• 一维仿射变换为
  
  
  将两式相除后得到非齐次坐标的关系，用非齐次坐标表示的射影变换为非线性变换，而仿射变换为线性变换
  
  三维的仿射变换矩阵可以表示为：有12个自由度
  

2.1.4 欧氏变换

• 欧氏变换代表了在欧氏空间中的刚体运动或刚体变换
  三维欧氏变换表示为
  
  其中，rij组成了一个正交矩阵，它是一个旋转矩阵，有3个自由度，又有3个平移的自由度，共6个自由度，用齐次坐标表示为
  
  如果再加上一个比例因子，则称为比例变换，有7个自由度，比例变换不改变物体空间的形状，只改变大小
  

2.2 几何变换的不变量

2.2.1 简比和交比

• 简比：基础点A,B和分点C,D所确定的两个有向线段之比
  
  交比：一条直线上四个点中两个简比的比值
  
  线束交比：任意4条直线的交比
  

2.2.2 不变量

• 射影变换保持点和线的交比不变。
  仿射变换具有射影变换的不变性，且保持两直线的平行性。
  比例变换具有仿射变换的不变性，且保持两条相交直线的夹角不变。
  欧氏变换具有比例变换的不变性，且任意两点的距离不变，因此，其形状大小都不变。
• 对于平面多边形的顶点，得到交比序列，形成该多边形的 一个特征矢量，反映了多边形的结构和形状，可以作为一个不变的形状描述子，区分两个相似形状的细微差别
  $CR=(C{R}_A,C{R}_B,C{R}_C,C{R}_{}$