《数字图像处理》笔记—灰度变换

3.1 背景

本章主要讲解空间域的图像处理方法，直接对图像中的像素进行操作，主要包括：灰度变换和空间滤波。
灰度变换是对图像的各个像素进行操作，空间滤波是对每个像素的邻域进行操作。

3.1.1 灰度变换和空间滤波基础

• 空间域处理可以表达为
  
  
• 邻域原点从一个像素移动到另一个像素应用算子T，产生输出。对于任意指定的位置(x,y)，输出图像g(x,y)的值等于对f中以(x,y)为原点的邻域应用算子T的结果。以上的操作称为空间滤波。
• 最小邻域的大小为1，此时g只依赖于点(x,y)处的f值，此时T称为灰度变换函数，用s和r分别表示g和f在任一点的灰度值，则s=T（r）。
• 举例：以下灰度变换函数，将小于k值的r值，减小s的值，倾向于黑色；将大于k值的r值，增大s的值，倾向于白色，用于对比度拉伸。
  

3.2 基本的灰度变换函数

3.2.1 反转变换

• 用于增强图像暗色区域的白色会灰色细节 ： s=L-1-r

3.2.2 对数变换

• 将输入中范围较窄的低灰度值 映射为输出中范围较宽的灰度值，如将输入到[0,L/4]映射到[0,3L/4]。这个操作用于扩展图像中的暗像素值，同时压缩高灰度值。
• 对数变换可以压缩像素变化较大的图像的动态范围，如傅里叶频谱，如果直接线性缩放频谱图，那么只显示图像中心最亮的像素，用对数变换可以显示更大范围的灰度，将灰度值低的部分，用更大的动态范围显示

3.2.3 幂律变换

• 显示器的显示存在gamma效应，gamma>1,将较窄范围的暗输入映射为较宽范围的输出值，这样会产生比预期更暗的图像。因此，需要使用一个gamma的倒数进行校正，校正后的图像更接近于原图像。
  

3.2.4 分段线性变化函数

1. 对比度拉伸
   令(r1,s1)=（rmin ,0)和(r2,s2)=（rmax ,L-1)，表示将整幅图像的灰度范围（rmin，rmax）拉伸到（0，L-1)。
   
2. 比特平面分层
   在一幅256级灰度图像中，图像值是由8比特组成的，图像可视为8个1比特的平面组成。每个比特平面可视为一幅二值图像，最高有效的4个平面中包含大量的具有视觉意义的信息。
   
   将图像分解成各个比特平面对图像压缩是有用的，重建所用的比特平面少于原有的比特平面。重建是通过将第n个平面的像素乘以常数2^n-1来实现的，每个平面乘以对应常数后，将所有平面相加，则可以得到灰度级图像，例如：
   

3.3 直方图处理

令$r_k$表示一幅L级图像f(x,y)的灰度，$n_k$是灰度为$r_k$的像素的数量。
非归一化的直方图表示为：$h(r_k)=n_k$。
归一化的直方图为：$p(r_k)=n_k/MN$，其中MN表示图像的行数和列数。
具有高对比的图像，像素占据了整个灰度级范围并且均匀分布；低对比度的图像直方图容器基本位于灰度级的中间。

3.3.1 直方图均衡化

• 对于输入图像中的给定灰度值r，产生 一个输出灰度值s，灰度映射函数T，$s=T(r)$，函数T是一个单调递增函数，并且值域为[0,L-1]。在一些公式中需要使用逆变换$r=T^{-}(s)$,此时T必须是严格单调递增函数。
• 两者的区别在于，单调递增函数可以执行一对一或多对一映射，从r映射到s时不会产生歧义，但是想从映射的单个值s唯一地恢复r的多个值是不可能的，因此需要严格递增函数来保证逆映射是单值的
  
• $p_r(r)$是原图像中灰度值的概率密度函数，经灰度映射函数$s=T(r)$，$p_s(s)$是直方图均衡化后图像中灰度值的概率密度函数，若$T(r)$和$p_r(r)$已知，且$T(r)$可微，则变换前后的PDF满足以下关系：
  
  令灰度变换函数为：
  
  其中右侧的积分是概率密度函数的积分，因为PDF总是为正，函数的积分就是函数下方的面积，该灰度变换函数是递增的，满足条件。在该变换函数的作用下，原图的概率密度函数会变为：
  
  由于图像的灰度值概率是离散的，用概率与求和来代替概率密度函数和积分，灰度变换函数的离散形式为：
  
• 假设一幅大小为 64 × 64 像素的3比特图像 ( L = 8 ) ，其中灰度级是范围 [0,7] 中的整数。
  
  其灰度变换函数为：
  
  
  
  直方图均衡化后产生了5个不同的灰度级，原有的灰度级567都映射到了7中。直方图均衡化会使得图像的灰度级覆盖更宽的灰度范围，但如果原本的图像已经覆盖了整个灰度级，那么其变换函数几乎是线性的，输入被映射为几乎相等的输出，作用不大。

3.3.2 直方图规定化

• $p_r(r)$表示输入图像的灰度值概率密度分布，$p_z(z)$表示规定的灰度值概率密度函数，它们都可以通过灰度变化函数进行均衡化，得到均衡化的概率密度分布$p_s(s)$，通过逆变换就可以得到s到z的变换关系
  
  
  
  
  直方图均衡化的过程为：

1. 计算输入图像的直方图$p_r(r)$，并用灰度变换函数$T(r)$映射到均衡化的图像灰度$s_k$；
2. 对于规定的图像直方图$p_z(z)$，用灰度变换函数$G(z)$计算均衡化后的图像灰度值；
3. 对于$s_k$中的每个值，找到与其最接近的$G(z)$，此时的$z_q$便是与$s_k$对应的灰度值。

• 举例：对于原直方图和规定直方图分别为：
  
  第一步，是得到原直方图均衡化的结果
  
  第二步，是使用规定直方图的概率分布，计算$G(z)$值
  
  
  第三步，找到$s_k$与$G(z)$的对应值。例如，$s_0=1$与$G(z_3)=1$,那么就有对应$s_0-z_3$，即直方图均衡化中的图像中，值为1的每个像素映射到直方图规定化后的图像中值为3的像素
  

3.3.3 局部直方图

• 定义一个邻域，将其中心在水平或垂直方向上从一个像素移动到另一像素。在每个位置上，计算邻域中的各点的直方图，得到直方图均衡化或规定化的变换函数，用于映射邻域中心像素的灰度。然后移动邻域的中心，重复以上过程。

3.3.4 直方图统计量增强图像

• 从直方图得到的统计量信息可以用于增强图像，灰度值r对于其均值m的第n阶矩定义为$u_n$,均值m是平均灰度的测度，方差是第2阶矩，表示图像对比度的测度。
  
  
  
  在计算中，我们可以通过灰度值来直接计算得到它们，而不必使用直方图计算出概率分布
  
  
• 局部均值和局部方差表示的是像素邻域内的信息，使用局部信息在图像的几个区域中来增强图像，并且保持其余背景不变。对于图像中的某一个像素，其局部均值和方差，均小于全局均值和方差，那么其就作为一个待处理的像素点