蓝桥杯高频考点真题单——2.统计子矩阵

1.统计子矩阵 - 蓝桥云课 (lanqiao.cn)

这道题又让我重温了一遍前缀和和滑动窗口。

其实这道题是用一个二维前缀和，核心公式如下：

//计算 (1,1)到(i,j)的所有元素和
for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= m; j++)
			s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];

//计算(i,j)到(a,b)矩阵的所有元素和
ll sum(int i, int j, int a, int b)
{
	return s[a][b] - s[a][j - 1] - s[i - 1][b] + s[i - 1][j - 1];
    //这里要注意的是，为什么要 -1 操作，因为我们计算的时候包括了这些边界，所以需要退格一行或者一列
}

//其实你画个图就明白了

而滑动窗口就像是贪心一样，这里的滑动窗口相当于是模拟列的范围，而i，j则是模拟所有的行的组合。当对应ij的框出来的矩阵的和过大的时候，就将左界右移（注意是用while，以此保证移动到正确的位置），这就说明当前l~r的所有列的组合的矩阵都是小于等于k的，于是我们直接加 r-l+1 ，这样就可以一次性算出来行范围为 i~j 的时候能满足的所有列的个数了（也就是矩阵个数）。

AC：

#include <iostream>
using namespace std;

//其实不是dp，而是二维前缀和
//s[i][i]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j]	这里都是计算 i,j --> 1,1 之间的所有值的和
//还需要加滑动窗口，优化那个四维for循环


const int N = 510;
#define ll long long 
ll s[N][N] = { 0 };
ll a[N][N] = { 0 };
ll n, m;
ll k;

ll sum(int i, int j, int a, int b)
{
	return s[a][b] - s[a][j - 1] - s[i - 1][b] + s[i - 1][j - 1];
}

int main()
{
	cin >> n >> m >> k;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= m; j++)
			cin >> a[i][j];

	s[1][1] = a[1][1];
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= m; j++)
			s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];

	ll cnt = 0;
	//for (int i = 1; i <= n; i++)
	//	for (int j = 1; j <= m; j++)
	//		for (int a = i; a <= n; a++)
	//			for (int b = j; b <= m; b++)
	//				if (s[a][b] - s[a][j - 1] - s[i - 1][b] + s[i - 1][j - 1] <= k)	//注意这里要包括a[i][j]，所以要对边界-1
	//					cnt++;

	//前缀和 其实就是贪心策略，当过大，左界右移，还小，右界右移
	//这里将rl当做列
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = i; j <= n; j++)
			for (int l = 1, r = 1; r <= m; r++)
			{
				while (l <= r && sum(i, l, j, r) > k)	l++;
				cnt += r - l + 1;
			}



	cout << cnt;
	return 0;
}